ノルム空間のノルム・和・スカラー倍の連続性
ノルム空間のノルム・和・スカラー倍の連続性
ノルム空間\(V\)について次が成り立つ。
すなわち、ノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right),\left(\mathbb{R},\left|\bullet\right|\right)\)とその間の写像\(\left\Vert \bullet\right\Vert :V\rightarrow\mathbb{R}\)があるとき、任意の\(x_{0}\in V\)に対し、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}_{0}\right\Vert \)が成り立つ。
また、点列を\(\left(\boldsymbol{x}_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq V\)として、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\)ならば\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)となる。
逆は一般的に成り立たない。
すなわち、任意の\(x_{0},y_{0}\in V,\alpha_{0}\in\mathbb{K}\)について、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0},\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y_{0}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)=x_{0}+y_{0} \] \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=\alpha_{0},\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}x_{n}=\alpha_{0}x_{0} \] が成り立つ。
ノルム空間\(V\)について次が成り立つ。
(1)ノルム
ノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)\)のノルム\(\left\Vert \bullet\right\Vert \)は連続である。すなわち、ノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right),\left(\mathbb{R},\left|\bullet\right|\right)\)とその間の写像\(\left\Vert \bullet\right\Vert :V\rightarrow\mathbb{R}\)があるとき、任意の\(x_{0}\in V\)に対し、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}_{0}\right\Vert \)が成り立つ。
また、点列を\(\left(\boldsymbol{x}_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq V\)として、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\)ならば\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)となる。
逆は一般的に成り立たない。
(2)和・スカラー倍
体\(\mathbb{K}\)上のノルム空間\(\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert _{V}\right)\)があるとき、\(V\)の和とスカラー倍は連続となる。すなわち、任意の\(x_{0},y_{0}\in V,\alpha_{0}\in\mathbb{K}\)について、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0},\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y_{0}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)=x_{0}+y_{0} \] \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=\alpha_{0},\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}x_{n}=\alpha_{0}x_{0} \] が成り立つ。
(1)の例
\(\mathbb{R}\)上のベクトル空間\(\mathbb{R}\)に\(1\)ノルムを入れると、点列\(\left(x_{k}=\frac{1}{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(\lim_{k\rightarrow\infty}x_{k}=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{k}=0\)を満たすので、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert x_{k}\right\Vert =\left\Vert 0\right\Vert =0\)となる。(1)
\(\Rightarrow\)
\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}_{0}\right\Vert \)
\(\forall x\in V,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{0}\in V,\left\Vert x-x_{0}\right\Vert <\delta\rightarrow\left|\left\Vert x\right\Vert -\left\Vert x_{0}\right\Vert \right|<\epsilon\)が成り立てば\(\left\Vert \bullet\right\Vert \)は\(V\)で連続となる。\(\delta=\epsilon\)ととると、逆3角不等式より、
\begin{align*} \left|\left\Vert x\right\Vert -\left\Vert x_{0}\right\Vert \right| & \leq\left\Vert x-x_{0}\right\Vert \\ & <\delta\\ & =\epsilon \end{align*} となるので、連続の定義を満たす。
\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)
\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\)であるとき、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x}\right\Vert =0\)であり、\begin{align*} 0 & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x}\right\Vert \\ & \geq\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \right|\cmt{\because\text{逆3角不等式}} \end{align*} となるので、絶対値の非負性より、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \right)=0\)となる。
これより、移行すると、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)となる。
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これらより、\(\Rightarrow\)が成り立つ。逆は一般的に成り立たない
逆は一般的に成り立たないことは、実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に通常ノルムを入れた\(\left(\mathbb{R},\left|\bullet\right|\right)\)で点列を\(\left(\boldsymbol{x}_{k}=\left(-1\right)^{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq\mathbb{R}\)とすれば、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\boldsymbol{x}_{k}\right|=\lim_{k\rightarrow\infty}\left|\left(-1\right)^{k}\right|=\lim_{k\rightarrow\infty}1=1=\left|1\right|\)となるが、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\lim_{k\rightarrow\infty}\left(-1\right)^{k}\ne1\)である。従って、逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)の別証明
点列\(\left(\boldsymbol{x}_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq V\)として、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\)ならば\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)となることを示す。\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\)なので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq k\rightarrow\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x}\right\Vert <\epsilon \] となるので、逆3角不等式より、
\begin{align*} \epsilon & >\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x}\right\Vert \\ & \geq\left|\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert -\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \right| \end{align*} となり、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \)となる。
(2)
\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0},\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y_{0}\)であるとき、\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \left(x_{n}+y_{n}\right)-\left(x_{0}+y_{0}\right)\right\Vert & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert x_{n}-x_{0}+y_{n}+y_{0}\right\Vert \\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left\Vert x_{n}-x_{0}\right\Vert +\left\Vert y_{n}+y_{0}\right\Vert \right)\\ & =0+0\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(x_{n}+y_{n}\right)=x_{0}+y_{0} \] が成り立つ。
また、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}=\alpha_{0},\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0}\)であるとき、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \alpha_{n}x_{n}-\alpha_{0}x_{0}\right\Vert & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \left(\alpha_{n}-\alpha_{0}\right)\left(x_{n}-x_{0}\right)+\alpha_{n}x_{0}+\alpha_{0}x_{n}\right\Vert \\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \left(\alpha_{n}-\alpha_{0}\right)\left(x_{n}-x_{0}\right)+\left(\alpha_{n}-\alpha_{0}\right)x_{0}+\alpha_{0}\left(x_{n}-x_{0}\right)\right\Vert \\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left\Vert \left(\alpha_{n}-\alpha_{0}\right)\left(x_{n}-x_{0}\right)\right\Vert +\left\Vert \left(\alpha_{n}-\alpha_{0}\right)x_{0}\right\Vert +\left\Vert \alpha_{0}\left(x_{n}-x_{0}\right)\right\Vert \right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left|\alpha_{n}-\alpha_{0}\right|\left\Vert x_{n}-x_{0}\right\Vert +\left|\alpha_{n}-\alpha_{0}\right|\left\Vert x_{0}\right\Vert +\left|\alpha_{0}\right|\left\Vert x_{n}-x_{0}\right\Vert \right)\\ & =0\cdot0+0\left\Vert x_{0}\right\Vert +\left|\alpha_{0}\right|0\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\alpha_{n}x_{n}=\alpha_{0}x_{0} \] が成り立つ。
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ノルム空間のノルム・和・スカラー倍の連続性 |
| URL | https://www.nomuramath.com/t69uf1tr/ |
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ノルム空間のコーシー列・収束列・有界列の定義
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left\Vert x_{n}-x\right\Vert <\epsilon
\]
ノルム空間ならば距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert
\]
ノルム・半ノルムの性質
\[
0\leq\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert
\]
ノルム空間(ノルム線形空間)と半ノルム空間(半ノルム線形空間)の定義
\[
\left(V,\left\Vert \bullet\right\Vert \right)
\]