(1)

\(\Rightarrow\)

\(H\)の固有値を\(\lambda_{k}\)としてその固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}_{k}\)とすると、\(0<\left\langle H\boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{x}_{k}\right\rangle =\left\langle \lambda_{k}\boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{x}_{k}\right\rangle =\lambda_{k}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{x}_{k}\right\rangle =\lambda_{k}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}\right\Vert ^{2}\)となるので、\(0<\lambda\)となる。
これが任意の\(\lambda_{k},k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)に対して成り立つので、題意は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(H\)はエルミート行列なので、あるユニタリ行列\(U\)が存在し、対角化が可能であり、そのときの対角成分は固有値になる。
従って、\(U^{-1}HU=\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)\)となるので、任意の非零列ベクトル\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\setminus\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)に対し、
\begin{align*} \left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\boldsymbol{x}^{*}H\boldsymbol{x}\\ & =\boldsymbol{x}^{*}UU^{-1}HUU^{-1}\boldsymbol{x}\\ & =\boldsymbol{x}^{*}U\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)U^{-1}\boldsymbol{x}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\left\Vert \left(U^{-1}\boldsymbol{x}\right)_{k}\right\Vert ^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となり、\(H\)は正定値行列となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。
他の3つについても同様である。

(2)

\(\Rightarrow\)

正定値行列が正則であることを示すだけならば次のようにすればいい。
正定値行列は全ての固有値が正であり、行列式は重解も含めた全ての固有値の積なので行列式は正ととなる。
これより、行列式は0ではないので正定値行列は正則となる。
また、逆行列の固有値は元の行列の固有値の逆数なので、元の行列の固有値が正ならば逆行列の固有値も正になる。
従って正定値行列の逆行列も正定値行列となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
エルミート行列
\[ H=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right) \] の行列式は1なので正則であるが、固有値は\(-1,-1\)なので、負定値行列となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

負定値行列

負定値行列についても同様に証明できる。

(2)-2

\(\Rightarrow\)のみを示す。
\(H\)を\(n\)次正定値行列とする。
正定値行列なので固有値\(\lambda_{k}\)は\(\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,0<\lambda_{k}\)となる。
また、正定値行列はエルミート行列でエルミート行列は正規行列なので、あるユニタリ行列\(U\)により対角化が可能である。
これより、\(\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)=U^{-1}HU\)となるので、\(H=U\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)U^{-1}\)なので\(H^{-1}=\left(U\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)U^{-1}\right)^{-1}=U\diag\left(\lambda_{1}^{-1},\lambda_{2}^{-1},\cdots,\lambda_{n}^{-1}\right)U^{-1}\)となり逆行列が存在するので\(H\)は正則となる。
また、逆行列\(H^{-1}\)を対角化すると、\(U^{-1}H^{-1}U=\diag\left(\lambda_{1}^{-1},\lambda_{2}^{-1},\cdots,\lambda_{n}^{-1}\right)\)
となり、固有値は\(\lambda_{1}^{-1},\lambda_{2}^{-1},\cdots,\lambda_{n}^{-1}\)であり、\(\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,0<\lambda_{k}\)なので\(\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,0<\lambda_{k}^{-1}\)となり、\(H^{-1}\)は正定値行列となる。
従って題意は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

エルミート行列\(H\)が正定値のとき、固有値は全て正であり、行列式は全ての固有値の積なので行列式は正になる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
エルミート行列を
\[ H=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right) \] とすると、行列式は1なので\(0<\det\left(H\right)\)であるが、固有値は\(-1,-1\)であるので負定値行列であり、正定値行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(4)

体\(K\)上で考え、任意の\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)について、
\begin{align*} \left\langle A^{*}A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left\langle A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となるので、\(A^{*}A\geq0\)となる。
\(AA^{*}\)についても同様である。

(5)

\(\Rightarrow\)

\(0<A\)とすると、任意の\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)について、\(0<\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \)となる。
このとき、\(\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \in\mathbb{R}\)であるので、\(A\)はエルミート行列となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A\)を\(1\times1\)行列\(A=\left(-1\right)\)とする。
このとき、\(\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle -\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =-\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =-\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\leq0\)となるので、半負定値\(A\leq0\)となり、半正定値ではない。
従って、逆は一般的に成り立たない。

半正定値・負定値・半負定値の場合

半正定値・負定値・半負定値の場合も同様である。

(6)

\(A\leq B\)は定義より\(0\leq B-A\)であるので、
\begin{align*} A\leq B & \Leftrightarrow0\leq B-A\\ & \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},0\leq\left\langle \left(B-A\right)\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},0\leq\left\langle B\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle -\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \leq\left\langle B\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} となるので題意は成り立つ。
同様に\(A<B\Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle <\left\langle B\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \)も成り立つ。