正規直交基底での内積

正規直交基底なので、\(\left\langle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle =\delta_{k,j}\)となり、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left\langle \sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{a}_{k},\sum_{j=1}^{n}y_{j}\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{k}\overline{y_{j}}\left\langle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle \\ & =\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{k}\overline{y_{j}}\delta_{k,j}\\ & =\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k} \end{align*} となるので与式は成り立つ。