(1)

像は\(W\)の部分空間になっている証明
\(\boldsymbol{0}_{V}\in V\)なので\(\boldsymbol{0}_{W}=f\left(\boldsymbol{0}_{V}\right)\in\im f\)となる。
\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)のとき\(f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\in\im f\)とすると、\(f\)は線形写像なので\(f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)=f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\in\im f\)となる。
\(c\in K,\boldsymbol{x}\in V\)のとき\(f\left(\boldsymbol{x}\right)\in\im f\)とすると\(cf\left(\boldsymbol{x}\right)=f\left(c\boldsymbol{x}\right)\in\im f\)となる。
これらより、\(\im f\)は\(W\)の部分空間になっている。

(2)

核は\(V\)の部分空間になっている証明
\(\boldsymbol{0}_{V}\in V\)で\(f\left(\boldsymbol{0}_{V}\right)=\boldsymbol{0}_{W}\)となるので\(\boldsymbol{0}_{V}\in\ker f\)となる。
\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\ker f\)のとき\(f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)=f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)=\boldsymbol{0}_{W}+\boldsymbol{0}_{W}=\boldsymbol{0}_{W}\)となるので\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in\ker f\)となる。
\(c\in K,\boldsymbol{x}\in\ker f\)のとき、\(f\left(c\boldsymbol{x}\right)=cf\left(\boldsymbol{x}\right)=c\boldsymbol{0}_{W}=\boldsymbol{0}_{W}\)となるので、\(c\boldsymbol{x}\in\ker f\)となる。
これらより、\(\ker f\)は\(V\)の部分空間になっている。

(9)

行列\(A\)を\(m\times n\)行列として、列ベクトルを使うと\(A=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\)と表される。
また、\(A\)を行基本変形をした簡約化した行列\(B\)は列ベクトルを使うと\(B=\left(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b_{2}},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}\right)\)と表される。
このとき、\(\rank A=r\)として、\(B\)の主成分をもつ列を左から順に\(\boldsymbol{b}_{j_{1}},\boldsymbol{b}_{j_{2}},\cdots,\boldsymbol{b}_{j_{r}}\)とすると、\(\left(\boldsymbol{b}_{j_{u}}\right)_{v}=\delta_{u,v}=\left(\boldsymbol{e}_{u}\right)_{\nu}\)より\(\boldsymbol{b}_{j_{u}}=\boldsymbol{e}_{u}\)となる。
\(A\)の像は
\begin{align*} \im A & =\left\{ A\boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n}\right\} \\ & =\left\{ \left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T};\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\in K^{n}\right\} \\ & =\left\{ \sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k}x_{k};\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\in K^{n}\right\} \\ & =\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle \end{align*} となり、行基本変形をしても生成される空間の次元は変わらないので、
\[ \dim\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle =\dim\left\langle \boldsymbol{b}_{j_{1}},\boldsymbol{b}_{j_{2}},\cdots,\boldsymbol{b}_{j_{r}}\right\rangle \] となる。
これより、
\begin{align*} \dim\im A & =\dim\left(\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle \right)\\ & =\dim\left(\left\langle \boldsymbol{b}_{j_{1}},\boldsymbol{b}_{j_{2}},\cdots,\boldsymbol{b}_{j_{r}}\right\rangle \right)\\ & =\dim\left(\left\langle \boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\cdots,\boldsymbol{e}_{r}\right\rangle \right)\\ & =r\\ & =\rank A \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(10)

退化次数の定義より、明らかに成り立つ。

(11)

\(V\)の基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)として、\(W\)の基底を\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{m}\)とする。
このとき、\(A_{f}=\left(a_{i,j}\right)\)とすると\(f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{j}a_{j,k}\)なので、\(f\)の階数は、
\begin{align*} \rank f & =\dim\im f\\ & =\dim\left\{ f\left(\boldsymbol{v}\right);\boldsymbol{v}\in V\right\} \\ & =\dim\left\{ f\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right);\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\in K^{n}\right\} \\ & =\dim\left\{ \sum_{k=1}^{n}x_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right);\boldsymbol{x}\in K^{n}\right\} \\ & =\dim\left\{ \sum_{k=1}^{n}x_{k}\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{j}a_{j,k};\boldsymbol{x}\in K^{n}\right\} \\ & =\dim\left\{ \sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{j}\sum_{k=1}^{n}a_{j,k}x_{k};\boldsymbol{x}\in K^{n}\right\} \\ & =\dim\left\{ \sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{j}\left(A_{f}\boldsymbol{x}\right)_{j};\boldsymbol{x}\in K^{n};\right\} \\ & =n-\dim\left\{ \boldsymbol{x}\in K^{n};\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{j}\left(A_{f}\boldsymbol{x}\right)_{j}=\boldsymbol{0}\right\} \cmt{\because n=\dim\im A+\dim\ker A}\\ & =n-\dim\left\{ \boldsymbol{x}\in K^{n};A_{f}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \cmt{\because w_{1},w_{2},\cdots,w_{m}\text{は基底なので1次独立}}\\ & =n-\dim\ker A_{f}\\ & =\rank A_{f} \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。

(11)-2

先に次元定理を使うとこのようになる。
\(V\)の基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)として、\(W\)の基底を\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{m}\)とする。
このとき、\(A_{f}=\left(a_{i,j}\right)\)とすると\(f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{j}a_{j,k}\)なので、\(f\)の階数は、
\begin{align*} \rank f & =\dim\im f\\ & =n-\dim\ker f\\ & =n-\dim\left\{ \boldsymbol{v}\in V;f\left(\boldsymbol{v}\right)=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =n-\dim\left\{ \left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)\in K^{n};f\left(\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =n-\dim\left\{ \boldsymbol{x}\in K^{n};\sum_{k=1}^{n}x_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =n-\dim\left\{ \boldsymbol{x}\in K^{n};\sum_{k=1}^{n}x_{k}\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{j}a_{j,k}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =n-\dim\left\{ \boldsymbol{x}\in K^{n};\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{j}\sum_{k=1}^{n}a_{j,k}x_{k}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =n-\dim\left\{ \boldsymbol{x}\in K^{n};\sum_{j=1}^{m}\boldsymbol{w}_{j}\left(A_{f}\boldsymbol{x}\right)_{j}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =n-\dim\left\{ \boldsymbol{x}\in K^{n};A_{f}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \cmt{\because w_{1},w_{2},\cdots,w_{m}\text{は基底なので1次独立}}\\ & =n-\dim\ker A_{f}\\ & =\rank A_{f} \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。