(1)

\(\Rightarrow\)

\(f\)が計量を保つ写像であるとき、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)に対し、\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}=\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\)となる。
このとき、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)とすると、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{V}^{2}=\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle _{V}=\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle _{W}=\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert _{W}^{2}\)となり、\(0\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{V},0\leq\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert _{W}\)なので\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{V}=\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert _{W}\)となり等長写像となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(f\)は等長写像であるとき、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)に対し、\(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert _{V}=\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right\Vert _{W}\)が成り立つ。
この左辺の2乗は
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert _{V}^{2} & =\left\langle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle _{V}+\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}+\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle _{V}+\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{V}^{2}+\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}+\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}}+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert _{V}^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{V}^{2}+2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert _{V}^{2} \end{align*} となり、右辺の2乗は
\begin{align*} \left\Vert f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right\Vert _{W}^{2} & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\\ & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\\ & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle _{W}+\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}+\left\langle f\left(\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\rangle _{W}+\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle _{W}\\ & =\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert _{W}^{2}+\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}+\overline{\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}}+\left\Vert f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\Vert _{W}^{2}\\ & =\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}\right)\right\Vert _{W}^{2}+2\Re\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right)+\left\Vert f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\Vert _{W}^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{V}^{2}+2\Re\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert _{V}^{2} \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{V}^{2}+2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert _{V}^{2} & =\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert _{V}^{2}\\ & =\left\Vert f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\right\Vert _{W}^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{V}^{2}+2\Re\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert _{V}^{2} \end{align*} となるので移項すると、
\[ \Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right)=\Re\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right) \] となる。
ここで、\(\boldsymbol{x}\)は任意なので\(\boldsymbol{x}\rightarrow i\boldsymbol{x}\)とすると、左辺は
\begin{align*} \Re\left(\left\langle i\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right) & =\Re\left(i\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right)\\ & =-\Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right) \end{align*} となり、右辺は、
\begin{align*} \Re\left(\left\langle f\left(i\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right) & =\Re\left(i\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right)\\ & =-\Im\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right) \end{align*} となるので、
\begin{align*} \Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right) & =-\Re\left(\left\langle i\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right)\\ & =-\Re\left(\left\langle f\left(i\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right)\\ & =\Im\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right) \end{align*} となる。
これより、
\[ \begin{cases} \Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right)=\Re\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right)\\ \Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right)=\Im\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right) \end{cases} \] となるので、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V} & =\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right)+i\Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\right)\\ & =\Re\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right)+i\Im\left(\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\right)\\ & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W} \end{align*} となる。
従って、\(f\)は計量を保つ写像となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

\(f\left(\boldsymbol{x}\right)=f\left(\boldsymbol{y}\right)\)であるとき、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{V}^{2} & =\left\langle \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}\\ & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\cmt{\because\text{等長写像}}\\ & =\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{y}\right),f\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\\ & =\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{0}\right\rangle _{W}\cmt{\because f\left(\boldsymbol{x}\right)=f\left(\boldsymbol{y}\right)}\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{V}=0\)となり\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
従って、\(f\)は単射である。

(3)

\(\dim V=\dim W=n\)とおく。
\(V\)の正規直交基底を\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\)として、\(W\)の正規直交基底を\(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\)として、線形写像\(f:V\rightarrow W\)を\(\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)=\boldsymbol{w}_{k}\)とする。
ここで、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)について、ある\(\left(x_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} },\left(y_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K\)が存在し、\(\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}\boldsymbol{v}_{k},\boldsymbol{y}=\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}_{k}\)と表すことができる。
このとき、
\begin{align*} \left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W} & =\left\langle f\left(\sum_{j=1}^{n}x_{j}\boldsymbol{v}_{j}\right),f\left(\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right)\right\rangle _{W}\\ & =\left\langle \sum_{j=1}^{n}x_{j}f\left(\boldsymbol{v}_{j}\right),\sum_{k=1}^{n}y_{k}f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\right\rangle _{W}\\ & =\sum_{j=1}^{n}x_{j}\sum_{k=1}^{n}\overline{y_{k}}\left\langle f\left(\boldsymbol{v}_{j}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{k}\right)\right\rangle _{W}\\ & =\sum_{j=1}^{n}x_{j}\sum_{k=1}^{n}\overline{y_{k}}\left\langle \boldsymbol{w}_{j},\boldsymbol{w}_{k}\right\rangle _{W}\\ & =\sum_{j=1}^{n}x_{j}\sum_{k=1}^{n}\overline{y_{k}}\delta_{j,k}\\ & =\sum_{j=1}^{n}x_{j}\sum_{k=1}^{n}\overline{y_{k}}\left\langle \boldsymbol{v}_{j},\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle _{V}\\ & =\left\langle \sum_{j=1}^{n}x_{j}\boldsymbol{v}_{j},\sum_{k=1}^{n}y_{k}\boldsymbol{v}_{k}\right\rangle _{V}\\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V} \end{align*} となる。
従って、\(f\)は計量同型写像なので、\(V,W\)は計量同型となる。
故に題意は成り立つ。