ベッセルの不等式
ベッセルの不等式
\(X\)を内積空間\(\left(X,\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)として\(\left\{ \boldsymbol{a}_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}\)を正規直交列とする。
このとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in X\)に対し、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \] が成り立つ。
\(X\)を内積空間\(\left(X,\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)として\(\left\{ \boldsymbol{a}_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}\)を正規直交列とする。
このとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in X\)に対し、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \] が成り立つ。
\(\mathbb{R}^{3}\)での通常の内積空間\(\left(\mathbb{R}^{3},\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)を考え\(\boldsymbol{x}=\left(1,1,1\right)\in\mathbb{R}^{3},\boldsymbol{a}_{1}=\left(1,0,0\right),\boldsymbol{a}_{2}=\left(0,1,0\right)\)とする。
このとき、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2}\)は正規直交列となり、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} & =\left\Vert \left(1,1,1\right)\right\Vert ^{2}\\ & =1^{2}+1^{2}+1^{2}\\ & =3 \end{align*} \begin{align*} \sum_{k=1}^{2}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2} & =\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{1}\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{2}\right\rangle \right|^{2}\\ & =\left|\left\langle \left(1,1,1\right),\left(1,0,0\right)\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left(1,1,1\right),\left(0,1,0\right)\right\rangle \right|^{2}\\ & =\left|1\right|^{2}+\left|1\right|^{2}\\ & =2 \end{align*} となるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{2}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2} & =2\\ & \leq3\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \end{align*} が成り立つ。
このとき、\(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2}\)は正規直交列となり、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} & =\left\Vert \left(1,1,1\right)\right\Vert ^{2}\\ & =1^{2}+1^{2}+1^{2}\\ & =3 \end{align*} \begin{align*} \sum_{k=1}^{2}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2} & =\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{1}\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{2}\right\rangle \right|^{2}\\ & =\left|\left\langle \left(1,1,1\right),\left(1,0,0\right)\right\rangle \right|^{2}+\left|\left\langle \left(1,1,1\right),\left(0,1,0\right)\right\rangle \right|^{2}\\ & =\left|1\right|^{2}+\left|1\right|^{2}\\ & =2 \end{align*} となるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{2}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2} & =2\\ & \leq3\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \end{align*} が成り立つ。
任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し、
\begin{align*} 0 & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\langle \boldsymbol{x}-\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{x}-\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle -\sum_{k=1}^{n}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle -\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \left\langle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{x}\right\rangle +\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \sum_{j=1}^{n}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle \\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}+\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \sum_{j=1}^{n}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle }\delta_{k,j}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}+\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle }\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}+\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2} \end{align*} となるので、
\[ \sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \] となる。
これより、\(n\rightarrow\infty\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \] となるので与式は成り立つ。
\begin{align*} 0 & \leq\left\Vert \boldsymbol{x}-\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\langle \boldsymbol{x}-\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{x}-\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle -\sum_{k=1}^{n}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle -\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \left\langle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{x}\right\rangle +\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \sum_{j=1}^{n}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle }\left\langle \boldsymbol{a}_{k},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle \\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}+\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \sum_{j=1}^{n}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{j}\right\rangle }\delta_{k,j}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}+\sum_{k=1}^{n}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle }\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}+\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2} \end{align*} となるので、
\[ \sum_{k=1}^{n}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \] となる。
これより、\(n\rightarrow\infty\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \] となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ベッセルの不等式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zymgbine/ |
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(*)完全正規直交系と同値な条件
\[
\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}
\]
バナッハ空間とヒルベルト空間の定義
完備なノルム空間をバナッハ空間という。
直交系・正規直交系・完全正規直交系の定義
\[
\forall k,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle =0\rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]
ノルム空間・中線定理・内積空間の関係
\[
\text{ノルム空間}+\text{中線定理}\Leftrightarrow\text{内積空間}
\]