(1)

\begin{align*} A\setminus B & =\left\{ x;x\in A\land x\notin B\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A\land x\in B^{c}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A\cap B^{c}\right\} \\ & =A\cap B^{c} \end{align*} \begin{align*} A\setminus B & =A\cap B^{c}\\ & =B^{c}\cap A^{cc}\\ & =B^{c}\setminus A^{c} \end{align*}

(2)

\begin{align*} \left(A\setminus B\right)^{c} & =\left(A\cap B^{c}\right)^{c}\\ & =A^{c}\cup B \end{align*}

(3)

\begin{align*} A\setminus\emptyset & =A\cap\emptyset^{c}\\ & =A\cap X\\ & =A \end{align*}

(4)

\begin{align*} \emptyset\setminus A & =\emptyset\cap A^{c}\\ & =\emptyset \end{align*}

(5)

\begin{align*} X\setminus A & =X\cap A^{c}\\ & =A^{c} \end{align*}

(6)

\begin{align*} A\setminus X & =A\cap X^{c}\\ & =A\cap\emptyset\\ & =\emptyset \end{align*}

(7)

\begin{align*} A\setminus A & =A\cap A^{c}\\ & =\emptyset \end{align*}

(8)

\begin{align*} A\setminus A^{c} & =A\cap A^{cc}\\ & =A\cap A\\ & =A \end{align*}

(9)

\begin{align*} A^{c}\setminus A & =A^{c}\cap A^{c}\\ & =A^{c} \end{align*}

(10)

\begin{align*} \left(A\cup B\right)\setminus C & =\left(A\cup B\right)\cap C^{c}\\ & =\left(A\cap C^{c}\right)\cup\left(B\cap C^{c}\right)\\ & =\left(A\setminus C\right)\cup\left(B\setminus C\right) \end{align*}

(11)

\begin{align*} \left(A\cap B\right)\setminus C & =\left(A\cap B\right)\cap C^{c}\\ & =\left(A\cap C^{c}\right)\cap\left(B\cap C^{c}\right)\\ & =\left(A\setminus C\right)\cap\left(B\setminus C\right) \end{align*}

(12)

\begin{align*} C\setminus\left(A\cup B\right) & =C\cap\left(A\cup B\right)^{c}\\ & =C\cap A^{c}\cap B^{c}\\ & =\left(C\cap A^{c}\right)\cap\left(C\cap B^{c}\right)\\ & =(C\setminus A)\cap(C\setminus B) \end{align*}

(13)

\begin{align*} C\setminus\left(A\cap B\right) & =C\cap\left(A\cap B\right)^{c}\\ & =C\cap\left(A^{c}\cup B^{c}\right)\\ & =\left(C\cap A^{c}\right)\cup\left(C\cap B^{c}\right)\\ & =\left(C\setminus A\right)\cup\left(C\setminus B\right) \end{align*}

(14)

\begin{align*} \left(A\setminus B\right)\setminus C & =A\cap B^{c}\cap C^{c}\\ & =A\cap\left(B\cup C\right)^{c}\\ & =A\setminus\left(B\cup C\right) \end{align*}

(15)

\begin{align*} A\setminus\left(B\setminus C\right) & =A\cap\left(B\cap C^{c}\right)^{c}\\ & =A\cap\left(B^{c}\cup C\right)\\ & =\left(A\cap B^{c}\right)\cup\left(A\cap C\right)\\ & =\left(A\setminus B\right)\cup\left(A\cap C\right) \end{align*} \begin{align*} \left(A\setminus B\right)\cup\left(A\cap C\right) & =\left(A\cap B^{c}\right)\cup\left(A\cap C\right)\\ & =A\cap\left(B^{c}\cup C\right)\\ & =A\cap\left(B^{c}\cup\left(B\cap C\right)\right)\\ & =\left(A\cap B^{c}\right)\cup\left(A\cap B\cap C\right)\\ & =\left(A\setminus B\right)\cup\left(A\cap B\cap C\right) \end{align*}

(16)

\begin{align*} A\setminus\left(A\setminus B\right) & =A\cap\left(A\cap B^{c}\right)^{c}\\ & =A\cap\left(A^{c}\cup B\right)\\ & =A\cap B \end{align*}

(17)

\begin{align*} A\setminus B & =A\cap B^{c}\\ & =A\cap\left(A^{c}\cup B^{c}\right)\\ & =A\cap\left(A\cap B\right)^{c}\\ & =A\setminus\left(A\cap B\right) \end{align*}

(18)

\begin{align*} A\setminus B=A & \Leftrightarrow A\cap B^{c}=A\\ & \Leftrightarrow x\in A\land x\in B^{c}\leftrightarrow x\in A\\ & \Leftrightarrow\left\{ \lnot\left(x\in A\land x\in B^{c}\right)\lor x\in A\right\} \land\left\{ \left(x\in A\land x\in B^{c}\right)\lor x\notin A\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\lor x\in B\lor x\in A\right)\land\left(x\in B^{c}\lor x\notin A\right)\\ & \Leftrightarrow x\in B^{c}\lor x\notin A\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in B\land x\in A\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A\cap B\right)\\ & \Leftrightarrow x\notin A\cap B\\ & \Leftrightarrow A\cap B=\emptyset \end{align*}

(19)

\begin{align*} A\setminus B=\emptyset & \Leftrightarrow A\cap B^{c}=\emptyset\\ & \Leftrightarrow x\in A\land x\in B^{c}\leftrightarrow x\in\emptyset\\ & \Leftrightarrow x\in A\land x\in B^{c}\leftrightarrow0\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A\land x\in B^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\lor x\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\\ & \Leftrightarrow A\subseteq B \end{align*} \begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow B\cap A=A\\ & \Leftrightarrow B\cap\left(B^{c}\cup A\right)=A\\ & \Leftrightarrow B\cap\left(B\cap A^{c}\right)^{c}=A\\ & \Leftrightarrow B\setminus\left(B\setminus A\right)=A \end{align*}

(20)

\begin{align*} A\setminus B & =A\cap B^{c}\\ & \subseteq A \end{align*}

(21)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\in B\\ & \Rightarrow x\notin A\lor x\in B\lor x\notin C^{c}\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\lor x\in B\lor x\notin C^{c}\right)\land\left(x\notin A\lor x\in C^{c}\lor x\notin C^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\notin C^{c}\lor\left(x\in B\land x\in C^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A\land x\in C^{c}\right)\lor\left(x\in B\land x\in C^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow x\notin A\cap C^{c}\lor x\in B\cap C^{c}\\ & \Leftrightarrow x\in A\cap C^{c}\rightarrow x\in B\cap C^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap C^{c}\subseteq B\cap C^{c}\\ & \Leftrightarrow A\setminus C\subseteq B\setminus C \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

\(A=\left\{ a\right\} ,B=\emptyset,C=\left\{ a\right\} \)とすると、
\begin{align*} \left\{ a\right\} \subseteq\emptyset & \nLeftarrow\left\{ a\right\} \setminus\left\{ a\right\} \subseteq\emptyset\setminus\left\{ a\right\} \\ & \Leftrightarrow\emptyset\subseteq\emptyset \end{align*} となるので逆は一般に成り立たない。

(22)

\begin{align*} A\subseteq B\land A\subseteq C^{c} & \Leftrightarrow\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\land\left(x\in A\rightarrow x\in C^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\lor x\in B\right)\land\left(x\notin A\lor x\in C^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor\left(x\in B\land x\in C^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A\right)\lor\left(x\in B\land\lnot\left(x\in C\right)\right)\\ & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow\left(x\in B\nrightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow A\subseteq B\setminus C \end{align*}

(23)

\begin{align*} \left(A_{1}\cup A_{2}\right)\setminus\left(B_{1}\cup B_{2}\right) & =\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\cap\left(B_{1}\cup B_{2}\right)^{c}\\ & =\left(A_{1}\cap\left(B_{1}\cup B_{2}\right)^{c}\right)\cup\left(A_{2}\cap\left(B_{1}\cup B_{2}\right)^{c}\right)\\ & =\left(A_{1}\setminus\left(B_{1}\cup B_{2}\right)\right)\cup\left(A_{2}\setminus\left(B_{1}\cup B_{2}\right)\right)\\ & \subseteq\left(A_{1}\setminus B_{1}\right)\cup\left(A_{2}\setminus B_{2}\right) \end{align*}

(24)

\begin{align*} \left(A_{1}\cap A_{2}\right)\setminus\left(B_{1}\cap B_{2}\right) & =\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\cap\left(B_{1}\cap B_{2}\right)^{c}\\ & =\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\cap\left(B_{1}^{c}\cup B_{2}^{c}\right)\\ & =\left(\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\cap B_{1}^{c}\right)\cup\left(\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\cap B_{2}^{c}\right)\\ & =\left(\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\setminus B_{1}\right)\cup\left(\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\setminus B_{2}\right)\\ & \subseteq\left(A_{1}\setminus B_{1}\right)\cup\left(A_{2}\setminus B_{2}\right) \end{align*}

-

反例で示す。
\(A_{1}=A_{2}=B_{1},B_{2}=\emptyset\)とすると、左辺は
\begin{align*} \left(A_{1}\cap A_{1}\right)\setminus\left(A_{1}\cap\emptyset\right) & =A_{1}\setminus\emptyset\\ & =A_{1} \end{align*} となり、右辺は、
\begin{align*} \left(A_{1}\setminus A_{1}\right)\cap\left(A_{1}\setminus\emptyset\right) & =\emptyset\cap A_{1}\\ & =\emptyset \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left(A_{1}\cap A_{1}\right)\setminus\left(A_{1}\cap\emptyset\right) & =A_{1}\\ & \nsubseteq\emptyset\\ & =\left(A_{1}\setminus A_{1}\right)\cap\left(A_{1}\setminus\emptyset\right) \end{align*} となる。
従って、
\[ \left(A_{1}\cap A_{2}\right)\setminus\left(B_{1}\cap B_{2}\right)\nsubseteq\left(A_{1}\setminus B_{1}\right)\cap\left(A_{2}\setminus B_{2}\right) \] となる。