集合族演算の補集合と分配法則
\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族として、\(B\)を集合とする。

補集合

(1)和集合の補集合

\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{\;c} \]

(2)積集合の補集合

\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{\;c} \]
分配法則

(3)和集合との積集合

\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right) \]

(4)積集合との和集合

\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right) \]

(5)和集合との差集合

\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\setminus B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\setminus B\right) \]

(6)和集合との積集合

\[ B\cap\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(B\cap A_{\lambda}\right) \]

(7)積集合との和集合

\[ B\cup\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(B\cup A_{\lambda}\right) \]

(8)和集合との差集合

\[ B\setminus\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(B\setminus A_{\lambda}\right) \]
その他

(9)和集合との和集合

\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right) \]

(10)積集合との積集合

\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right) \]

(11)積集合との差集合

\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\setminus B=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\setminus B\right) \]

対称差集合については
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] \[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] となり分配法則が成り立たない。
反例で示す。
\(\Lambda=\left\{ 1,2\right\} ,A_{1}=\left\{ a_{1}\right\} ,A_{2}=\left\{ a_{2}\right\} ,B=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)とする。
\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B & =\left(\bigcup_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\right)\triangle B\\ & =\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\triangle B\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \cup\left\{ a_{2}\right\} \right)\triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) & =\bigcup_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\left(A_{\lambda}\triangle B\right)\\ & =\left(A_{1}\triangle B\right)\cup\left(A_{2}\triangle B\right)\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ a_{2}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\\ & =\left\{ a_{2}\right\} \cup\left\{ a_{1}\right\} \\ & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \end{align*} となるので、
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] となる。
\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B & =\left(\bigcap_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\right)\triangle B\\ & =\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\triangle B\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \cap\left\{ a_{2}\right\} \right)\triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\emptyset\triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \end{align*} \begin{align*} \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) & =\bigcap_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\left(A_{\lambda}\triangle B\right)\\ & =\left(A_{1}\triangle B\right)\cap\left(A_{2}\triangle B\right)\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\cap\left(\left\{ a_{2}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\\ & =\left\{ a_{2}\right\} \cap\left\{ a_{1}\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となるので、
\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] となる。

(1)

\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c} & =\left\{ x;x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right\} ^{c}\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} ^{c}\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}^{c}\right\} \\ & \left\{ x;x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right\} \\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c} \end{align*}

(2)

\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c} & =\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{cc}\\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{\;c} \end{align*}

(2)-2

直接計算すると、
\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c} & =\left\{ x;x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right\} ^{c}\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} ^{c}\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}^{c}\right\} \\ & \left\{ x;x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right\} \\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c} \end{align*}

(3)

\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \cap B\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\land x\in B\right\} \\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\cap B\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right)\right\} \\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right) \end{align*}

(4)

\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \cup B\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\lor x\in B\right\} \\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\cup B\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right)\right\} \\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right) \end{align*}

(5)

\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\setminus B & =\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B^{c}\\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B^{c}\right)\\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\setminus B\right) \end{align*}

(6)

(3)と同様にすればいい。

(7)

(4)と同様にすればいい。

(8)

\begin{align*} B\setminus\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right) & =B\cap\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c}\\ & =B\cap\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right)\\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(B\cap A_{\lambda}^{c}\right)\\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(B\setminus A_{\lambda}\right) \end{align*}

(9)

\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \cup B\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\lor x\in B\right\} \\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\cup B\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right)\right\} \\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right) \end{align*}

(10)

\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \cap B\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\land x\in B\right\} \\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\cap B\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right)\right\} \\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right) \end{align*}

(11)

\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\setminus B & =\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B^{c}\\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B^{c}\right)\\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\setminus B\right) \end{align*}

ページ情報

タイトル	集合族演算の補集合と分配法則
URL	https://www.nomuramath.com/vzd4jb4m/
SNSボタン

集合列と非交和

\[ \bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right) \]

集合列と和集合・積集合

\[ \bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k} \]

単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合

\[ A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k} \]

集合列の和集合と積集合の包含関係

\[ \forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \]