順序同型は同値関係
順序同型は同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。
カテゴリー: 集合論
順序写像・単調写像・順序反映・順序埋め込み・順序同型写像の定義
\[
a\preceq_{X}b\Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)
\]
上界(下界)・上限(下限)・最大元(最小元)・極大元(極小元)の定義
\[
\min U=\sup A
\]
順序集合の双対順序集合と狭義順序集合の狭義逆順序
\[
\succeq:=\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\preceq a\right\}
\]
隣接関係の定義
\[
\forall x,y\in X,x\nsim x\land\left(x\sim y\rightarrow y\sim x\right)
\]
自明な同値関係と相等関係
\[
\forall x,y\in X,x\sim y
\]
2項関係の性質
\[
a=b\Rightarrow aRb\land bRa
\]
集合の色々な2項関係(反射律・非反射律・余反射律・対称律・反対称律・非対称律・推移律・完全律・3分律・ユークリッド律・連続律・集合律・整礎律・外延律の定義)の定義
\[
\forall a\in X,a
\]
2項関係の定義
\[
\left(a,b\right)\in R\Leftrightarrow aRb
\]
終域が2つの写像全体の集合
\[
\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|
\]
定義関数の定義
\[
1_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ,x\mapsto\begin{cases}
1 & x\in A\\
0 & x\notin A
\end{cases}
\]
カントール集合の数式表示
\[
C=\left[0,1\right]\setminus\bigcup_{j=1}^{\infty}\bigcup_{k=0}^{3^{j-1}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{j}},\frac{3k+2}{3^{j}}\right)
\]
ケーニッヒの記法の定義と例
\[
x=0,\overline{x_{1}}\overline{x_{2}}\cdots
\]
同値類の性質
\[
\forall a,b\in X,a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right)
\]
同値類・商集合・商写像の定義
\[
X/\sim=\left\{ C\left(a\right);a\in X\right\}
\]
射影と成分への射影の定義
\[
\pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M}
\]
直和と直積・デカルト冪の定義
\[
\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda},\lambda\in\Lambda\right\}
\]
順序対の定義
\[
\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}
\]
分割と同値関係と商集合の関係
\[
x\sim y\Leftrightarrow\exists P\in\mathcal{P},x\in P\land y\in P
\]
集合の分割の定義
\[
\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \cup\left\{ b,c\right\}
\]
集合族の和集合と積集合の定義
\[
\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\}
\]
集合族・添字集合・部分族・集合列・有限集合列の定義
\[
\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}
\]
全体集合と補集合の定義
\[
A^{c}:=X\setminus A
\]
交わりと互いに素の定義
\[
A\cap B=\emptyset
\]
互いに素な集合と対角集合の関係
\[
A\cap B=\emptyset\Leftrightarrow\left(A\times B\right)\cap\Delta_{X}=\emptyset
\]
対角集合の定義
\[
\Delta_{X}=\left\{ \left(x,y\right)\in X\times X;x=y\right\} \subseteq X^{2}
\]