無限集合は可算無限部分集合をもつ
選択関数と選択公理の定義
\[\forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset\]
整列集合の基本的な性質
\[X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset\]
切片の定義
\[X\left\langle a\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\} \]
整列集合の順序同型は一意的
整列集合の比較定理
広義全順序集合の整列集合と狭義全順序集合の整列集合の関係
整列性と整列集合の定義と性質
順序写像かつ単射の性質
\[\forall a,b\in X,a\precneqq b\rightarrow f\left(a\right)\precneqq\left(b\right)\]
デデキント切断の定義
\[a\in A\land b\in B\rightarrow a\preceq b\]
半順序集合・狭義半順序集合の辞書式順序
\[\left(x_{1},y_{1}\right)\preceq\left(x_{2},y_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}\prec_{X}x_{2}\lor\left(x_{1}=x_{2}\land y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\right)\]
半順序集合と狭義半順序集合の関係
半順序関係と狭義半順序関係
\[x\prec y\Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\]
上方集合と下方集合の定義
\[\forall x\in A,\forall y\in X,x\preceq y\rightarrow y\in A\]
部分順序集合
\[b_{1}\preceq_{A}b_{2}\Leftrightarrow b_{1}\preceq_{B}b_{2}\]
順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像
順序写像同士の合成写像は順序写像になる。
2つの集合上の二項関係(一意性・全域性)の定義
\[aRc\land bRc\Rightarrow a=b\]
順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値
順序を反映する写像(順序単射)ならば単射
順序同型は同値関係
順序同型は同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。
狭義半順序関係の性質
===thm ***狭義半順序関係の性質*** # (1) 狭義半順序関係(非反射律・推移律)を満たすとき非対称律も満たす。 # (2) 狭義半順序関係を満たすとき$aRb\land bRa\Leftrightarrow\bot$と$aRb...