(1)

\(\Rightarrow\)

\(A\subseteq A\cup B=A\cap B\subseteq B\)、より、\(A\subseteq B\)となる。
同様に\(B\subseteq A\cup B=A\cap B\subseteq A\)、より、\(B\subseteq A\)となる。
これより、\(A\subseteq B\land B\subseteq A\)なので\(A=B\)となる。
故に\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(A=B\)のとき、\(A\cup B=A\cap B=A\)となる。
これより、\(\Leftarrow\)は成り立つ。

-

\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)も成り立つので与式は成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\cup C=B\cup C & \Rightarrow\left(A\cup C\right)\cap C^{c}=\left(B\cup C\right)\cap C^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap C^{c}=B\cap C^{c} \end{align*} これより、
\begin{align*} A\cap C=B\cap C & \Rightarrow\left(A\cap C\right)\cup\left(A\cap C^{c}\right)=\left(B\cap C\right)\cup\left(B\cap C^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow A\cap\left(C\cup C^{c}\right)=B\cap\left(C\cup C^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow A\cap X=B\cap X\\ & \Leftrightarrow A=B \end{align*} となるので、\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(A=B\)のとき、\(A\cup C=B\cup C\land A\cap C=B\cap C\Leftrightarrow A\cup C=A\cup C\land A\cap C=A\cap C=\top\land\top=\top\)となる。
故に\(\Leftarrow\)は成り立つ。

-

\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)も成り立つので与式は成り立つ。

(2)-2

\(\Rightarrow\)のみ示す。

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A & =A\cap\left(C\cup C^{c}\right)\\ & =\left(A\cap C\right)\cup\left(A\cap C^{c}\right)\\ & =\left(A\cap C\right)\cup\left\{ C^{c}\cap\left(A\cup C\right)\right\} \\ & =\left(B\cap C\right)\cup\left\{ C^{c}\cap\left(B\cup C\right)\right\} \\ & =\left(B\cap C\right)\cup\left(C^{c}\cap B\right)\\ & =B\cup\left(C\cup C^{c}\right)\\ & =B \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)は成り立つ。

(3)

\begin{align*} X=A\cup B\land A\ne\emptyset & \Leftrightarrow X=A\cup B\land\left(X\ne A\cup B\lor A\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow X=A\cup B\land\lnot\left(X=A\cup B\land A=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow X=A\cup B\land\lnot\left(X=A\land B=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow X=A\cup B\land\lnot\left(X=B\land A\cap B=X\right)\\ & \Leftrightarrow X=A\cup B\land\left(X\ne B\lor A\cap B\ne X\right)\\ & \Leftrightarrow X=A\cup B\land B\ne X \end{align*}

(4)

\begin{align*} A & =A\cup\emptyset\\ & =A\cup\left(B\cap B^{c}\right)\\ & =\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup B^{c}\right) \end{align*}

(5)

\begin{align*} A & =A\cap X\\ & =A\cap\left(B\cup B^{c}\right)\\ & =\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cap B^{c}\right) \end{align*}

(6)

\begin{align*} A\nsubseteq B,C\subseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall a\in A,a\in B\right)\land\left(\forall c\in C,c\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists a\in A,a\notin B\right)\land\left(c\in C\rightarrow c\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\exists a\in A,a\notin B\right)\land\left(c\notin C\lor c\in B\right)\\ & \Rightarrow\exists a\in A\land a\notin B\land\left(a\notin C\lor a\in B\right)\\ & \Rightarrow\exists a\in A\land a\notin B\land a\notin C\\ & \Rightarrow\exists a\in A\land a\notin C\\ & \Leftrightarrow A\nsubseteq C \end{align*}