集合族の和集合・積集合の性質
\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族とする。
\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族とする。
(1)
\[ \forall B\in\mathcal{A},B\subseteq\bigcup\mathcal{A} \](2)
\[ \left(\forall B\in\mathcal{A},B\subseteq C\right)\Rightarrow\bigcup\mathcal{A}\subseteq C \](3)
\[ \forall B\in\mathcal{A},\bigcap\mathcal{A}\subseteq B \](4)
\[ \left(\forall B\in\mathcal{A},C\subseteq B\right)\Rightarrow C\subseteq\bigcap\mathcal{A} \](1)
任意の\(B\in\mathcal{A}\)に対し、ある\(\mu\in\Lambda\)が存在し、\(B=A_{\mu}\)となるので、\[ \forall\mu\in\Lambda,A_{\mu}\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \] となり明らかに成り立つ。
(2)
任意の\(B\in\mathcal{A}\)に対し、ある\(\mu\in\Lambda\)が存在し、\(B=A_{\mu}\)となるので、\[ \forall\mu\in\Lambda,A_{\mu}\subseteq C\Rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\mathcal{A}_{\lambda}\subseteq C \] となり明らかに成り立つ。
(3)
任意の\(B\in\mathcal{A}\)に対し、ある\(\mu\in\Lambda\)が存在し、\(B=A_{\mu}\)となるので、\[ \forall\mu\in\Lambda,\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\subseteq A_{\mu} \] となり明らかに成り立つ。
(4)
任意の\(B\in\mathcal{A}\)に対し、ある\(\mu\in\Lambda\)が存在し、\(B=A_{\mu}\)となるので、\[ \forall\mu\in\Lambda,C\subseteq A_{\mu}\Rightarrow C\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\mathcal{A}_{\lambda} \] となり明らかに成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 集合族の和集合・積集合の性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/dor0jbrc/ |
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集合列と非交和
\[
\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)
\]
集合列と和集合・積集合
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}
\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]