(1)

\(\Rightarrow\)

\(c\mid a\land c\mid b\)のとき、ある整数\(m,n\in\mathbb{Z}\)が存在して\(a=mc\land b=nc\)となる。
これより、\(\left(a+b\right)=\left(m+n\right)c\)となるので\(c\mid\left(a+b\right)\)となる。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(2\mid2\)は成り立つが、\(2\mid2\)\(\leftrightarrow2\mid\left(1+1\right)\nrightarrow2\mid1\land2\mid1\)となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(2)

\(\Rightarrow\)

\(a\mid b\)が成り立つときある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在して\(b=na\)となる。
この両辺に整数\(x\in\mathbb{Z}\)を掛けると\(bx=xna\)となり、\(xn\)は整数なので\(a\mid bx\)となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(2\mid2\)は成り立つが、\(2\mid2\leftrightarrow2\mid\left(2\cdot1\right)\nrightarrow2\mid1\)となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(3)

\(\Rightarrow\)

(1)(2)より、\(c\mid a\land c\mid b\rightarrow\forall x,y\in\mathbb{Z},c\mid ax\land c\mid by\rightarrow\forall x,y\in\mathbb{Z},c\mid\left(ax+by\right)\)となる。
従って\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(2\mid2\)は成り立つが、\(2\mid2\leftrightarrow2\mid\left(1\cdot1+1\cdot1\right)\nrightarrow2\mid1\land2\mid1\)となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(4)

\(\Rightarrow\)

\(a\mid b\)が成り立つとき、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在して\(b=na\)となる。
このとき、\(b=\left(-n\right)\left(-a\right)\)となるので、\(-a\mid b\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\Rightarrow\)で\(a\rightarrow-a\)と置き換えればいい。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(5)

\(-a\mid b\)が成り立つとき、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在して\(b=n\cdot\left(-a\right)\)となる。
このとき、\(-b=na\)となるので、\(a\mid-b\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\Rightarrow\)で\(a\rightarrow-a,b\rightarrow-b\)と置き換えればいい。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(6)

\(0\leq a\land0\leq b\)のとき、明らかに\(a\mid b\leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)が成り立つ。
(4)より、\(a<0\land0\leq b\)のとき、\(a\mid b\leftrightarrow-a\mid b\leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)となるので成り立つ。
(5)より、\(0\geq a\land b<0\)のとき、\(a\mid b\leftrightarrow a\mid-b\leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)となるので成り立つ。
(4)(5)より\(a<0\land b<0\)のとき、\(a\mid b\leftrightarrow-a\mid b\leftrightarrow-a\mid-b\leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)となるので成り立つ。
これらより任意の整数\(a,b\)に対し\(a\mid b\leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)が成り立つ。

\(\Rightarrow\)

\(a\mid b\land b\mid a\)が成り立つときある整数\(m,n\in\mathbb{Z}\)が存在して\(b=ma,a=bn\)が成り立ち、\(a=mna\)となる
もし\(a\ne0\)なら\(mn=1\)となるので、\(\left(m=1\land n=1\right)\lor\left(m=-1\land n=-1\right)\)となるが、\(a=b\lor a=-b\)となるので\(\left|a\right|=\left|b\right|\)となる。
もし\(a=0\)なら\(b=0\)となるので\(\left|a\right|=\left|b\right|\)が成り立つ。
従って\(a=0\)でも\(a\ne0\)でも\(\left|a\right|=\left|b\right|\)が成り立つ。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\left|a\right|=\left|b\right|\)のとき、\(a=b\lor a=-b\)となる。
\(a=b\)のとき、\(a\mid b\land b\mid a\Leftrightarrow a\mid a\land a\mid a\Leftrightarrow\top\)となり\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(a=-b\)のとき、\(a\mid b\land b\mid a\Leftrightarrow a\mid-a\land-a\mid a\Leftrightarrow\top\)となり\(\Leftarrow\)が成り立つ。
これより、\(a=b\)でも\(a=-b\)でも\(a\mid b\land b\mid a\Leftrightarrow\top\)が成り立つ。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

-

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(8)

\(\Rightarrow\)

\(a\ne0\land b\ne0\land c\ne0\)のとき、
\begin{align*} a\mid b\land b\mid c\land c\mid a & \Rightarrow\left|a\right|\leq\left|b\right|\land\left|b\right|\leq\left|c\right|\land\left|c\right|\leq\left|a\right|\\ & \Leftrightarrow\left|a\right|\leq\left|b\right|\leq\left|c\right|\leq\left|a\right|\\ & \Leftrightarrow\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right| \end{align*} \(a=0\lor b=0\lor c=0\)のとき、
\(a=0\)とすると、\(a\mid b\land b\mid c\land c\mid a\Leftrightarrow0\mid b\land b\mid c\land c\mid0\)となるが、これが真になるためには\(0\mid b\)が真にならなければいけなく\(b=0\)となる。
そして\(a=0\)\(\land b=0\)ならば\(a\mid b\land b\mid c\land c\mid a\Leftrightarrow0\mid0\land0\mid c\land c\mid0\)となり、これが真になるためには\(0\mid c\)が真にならなければいけなく\(c=0\)となる。
従って\(a=0\)とすると\(a=b=c=0\)とならなければいけない。
同様に\(b=0\)や\(c=0\)としても\(a=b=c=0\)とならなければいけない。
してがって\(a=0\lor b=0\lor c=0\)のとき、\(a=b=c=0\)なので、\(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)が成り立つ。
これより、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)のとき、\(a\mid b\Leftrightarrow a\mid\pm a\Leftrightarrow\top\)同様に\(b\mid c\Leftrightarrow\top,c\mid a\Leftrightarrow\top\)となるので、\(a\mid b\land b\mid c\land c\mid a\Leftrightarrow\top\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

-

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。