集合の演算の定義
集合の演算の定義
全体集合を\(X\)として、\(X\)の部分集合を\(A,B\subseteq X\)とする。
全体集合を\(X\)として、\(X\)の部分集合を\(A,B\subseteq X\)とする。
(1)補集合
\[ A^{c}=X\setminus A \](2)和集合
\[ A\cup B=\left\{ x;x\in A\lor x\in B\right\} \](3)積集合
\[ A\cap B=\left\{ x;x\in A\land x\in B\right\} \](4)差集合
\begin{align*} A\setminus B & =\left\{ x;x\in A\land x\notin B\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A\nrightarrow x\in B\right\} \\ & =A\cap B^{c} \end{align*}(5)対称差集合
\begin{align*} A\triangle B & =\left\{ x;\left(x\in A\lor x\in B\right)\land\lnot\left(x\in A\land x\in B\right)\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A\nleftrightarrow x\in B\right\} \\ & =\left(A\cap B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\cap B\right)\\ & =\left(A\cup B\right)\cap\left(A^{c}\cup B^{c}\right)\\ & =\left(A\cup B\right)\setminus\left(A\cap B\right) \end{align*}(6)和集合
\[ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \](7)積集合
\begin{align*} \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \end{align*}和集合・積集合・対称差集合は交換法則が成り立ちますが、差集合では交換法則が成り立ちません。
また、和集合・積集合では結合法則が成り立ちますが、差集合・対称差集合では結合法則が成り立ちません。
和集合\(A\cup B\)は\(A,B\)のどちらかに含まれている元の集合。
積集合\(A\cap B\)は\(A,B\)のどちらにも含まれている元の集合。
差集合は\(A\setminus B\)は\(A\)には含まれていて\(B\)には含まれていない元の集合。
対称差集合\(A\triangle B\)は\(A\)だけに含まれている、または\(B\)だけに含まれている元の集合。
また、和集合・積集合では結合法則が成り立ちますが、差集合・対称差集合では結合法則が成り立ちません。
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和集合・積集合・差集合・対称差集合の意味は次のようになる。和集合\(A\cup B\)は\(A,B\)のどちらかに含まれている元の集合。
積集合\(A\cap B\)は\(A,B\)のどちらにも含まれている元の集合。
差集合は\(A\setminus B\)は\(A\)には含まれていて\(B\)には含まれていない元の集合。
対称差集合\(A\triangle B\)は\(A\)だけに含まれている、または\(B\)だけに含まれている元の集合。
全体集合を\(X=\left\{ a,b,c\right\} \)として、部分集合を\(A=\left\{ a,b\right\} ,B=\left\{ a,c\right\} \text{とする。}\)
このとき次のようになる。
\begin{align*} A^{c} & =X\setminus A\\ & =\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} \\ & =\left\{ c\right\} \end{align*} \begin{align*} A\cup B & =\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \\ & =\left\{ a,b,c\right\} \end{align*} \begin{align*} A\cap B & =\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \\ & =\left\{ a\right\} \end{align*} \begin{align*} A\setminus B & =\left\{ a,b\right\} \setminus\left\{ a,c\right\} \\ & =\left\{ b\right\} \end{align*} \begin{align*} A\triangle B & =\left\{ a,b\right\} \triangle\left\{ a,c\right\} \\ & =\left(\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \right)\setminus\left(\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \right)\\ & =\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a\right\} \\ & =\left\{ b,c\right\} \end{align*}
このとき次のようになる。
\begin{align*} A^{c} & =X\setminus A\\ & =\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} \\ & =\left\{ c\right\} \end{align*} \begin{align*} A\cup B & =\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \\ & =\left\{ a,b,c\right\} \end{align*} \begin{align*} A\cap B & =\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \\ & =\left\{ a\right\} \end{align*} \begin{align*} A\setminus B & =\left\{ a,b\right\} \setminus\left\{ a,c\right\} \\ & =\left\{ b\right\} \end{align*} \begin{align*} A\triangle B & =\left\{ a,b\right\} \triangle\left\{ a,c\right\} \\ & =\left(\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \right)\setminus\left(\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \right)\\ & =\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a\right\} \\ & =\left\{ b,c\right\} \end{align*}
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| タイトル | 集合の演算の定義 |
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集合族の和集合・積集合の性質
\[
\forall B\in\mathcal{A},B\subseteq\bigcup\mathcal{A}
\]