(1)

\(a\in A\Leftrightarrow\exists x\in A,x=a\)は明らかに成り立つ。
\begin{align*} a\in A & \Leftrightarrow a\in\left\{ a\right\} \rightarrow a\in A\\ & \Leftrightarrow\left\{ a\right\} \subseteq A \end{align*}

(2)

部分集合の定義より、\(A\subseteq B\Leftrightarrow a\in A\rightarrow a\in B\)となり、
\begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow a\in A\rightarrow a\in B\\ & \Leftrightarrow\forall a\in A,a\in B\\ & \Leftrightarrow\forall a\in A,\exists b\in B,a=b \end{align*}

(3)

集合の同値の定義より明らか。

(4)

\(x\in\emptyset\Rightarrow x\in A\)は左辺が偽なので常に成り立つ。
\(x\in A\Rightarrow x\in X\)は\(x\in X\Leftrightarrow x\in A\cup x\in A^{c}\)なので常に成り立つ。
故に与式は成り立つ。

(5)

\(x\in A\Rightarrow x\in A\)は常に成り立つので与式は成り立つ。

(6)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\subseteq B\land B\subseteq C & \Leftrightarrow\left(x\notin A\lor x\in B\right)\land\left(x\notin B\lor x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\land x\notin B\right)\lor\left(x\notin A\land x\in C\right)\lor\left(x\in B\land x\notin B\right)\lor\left(x\in B\land x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\land x\notin B\right)\lor\left(x\notin A\land x\in C\right)\lor\left(x\in B\land x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\land x\notin B\right)\lor\left\{ \left(x\notin A\lor x\in B\right)\land x\in C\right\} \\ & \Rightarrow x\notin A\lor\left\{ \left(x\notin A\lor x\in B\right)\land x\in C\right\} \\ & \Rightarrow x\notin A\lor x\in C\\ & \Leftrightarrow A\subseteq C \end{align*}

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(A=C=\left\{ a\right\} ,B=\emptyset\)とすると、右辺は真であるが左辺は\(A\subseteq B\)を満たさないので偽となるので、\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

(7)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\in B\\ & \Rightarrow x\notin A\lor x\in B\lor x\in C\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\lor x\in B\lor x\in C\right)\land\left(x\notin C\lor x\in B\lor x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\land x\notin C\right)\lor x\in B\lor x\in C\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A\lor x\in C\right)\lor\left(x\in B\lor x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\in A\lor x\in C\right)\rightarrow\left(x\in B\lor x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow A\cup C\subseteq B\cup C \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

逆は一般的に成り立たないことを反例で示す。
\(A=\left\{ a\right\} ,B=\emptyset,C=\left\{ a\right\} \)とすると、
\begin{align*} \left\{ a\right\} \subseteq\emptyset & \nLeftarrow\left\{ a\right\} \cup\left\{ a\right\} \subseteq\emptyset\cup\left\{ a\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ a\right\} \end{align*} となるので、逆は一般的に成り立たない。

(8)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\in B\\ & \Rightarrow x\notin A\lor x\notin C\lor x\in B\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\lor x\notin C\lor x\in B\right)\land\left(x\notin A\lor x\notin C\lor x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\notin C\lor\left(x\in B\land x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A\land x\in C\right)\lor\left(x\in B\land x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\in A\land x\in C\right)\rightarrow\left(x\in B\land x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow A\cap C\subseteq B\cap C \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

逆は一般的に成り立たないことを反例で示す。
\(A=\left\{ a\right\} ,B=\emptyset,C=\emptyset\)とすると、
\begin{align*} \left\{ a\right\} \subseteq\emptyset & \nLeftarrow\left\{ a\right\} \cap\emptyset\subseteq\emptyset\cap\emptyset\\ & \Leftrightarrow\emptyset\subseteq\emptyset \end{align*} となるので、逆は一般的に成り立たない。

(9)

\begin{align*} A & =\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup B^{c}\right)\\ & \subseteq A\cup B \end{align*}

(10)

\begin{align*} A & =\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cap B^{c}\right)\\ & \supseteq A\cap B \end{align*}

(11)

\begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B\\ & \Leftrightarrow x\in A^{c}\leftarrow x\in B^{c}\\ & \Leftrightarrow B^{c}\subseteq A^{c} \end{align*} \begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\in B\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\lor x\in B\right)\land\left(x\notin B\lor x\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\land x\notin B\right)\lor x\in B\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\land x\notin B\right)\lor\left\{ \left(x\in A\lor x\in B\right)\land x\in B\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(x\notin A\land x\notin B\right)\land x\notin B\right\} \lor\left\{ \left(x\in A\lor x\in B\right)\land x\in B\right\} \\ & \Leftrightarrow\left\{ \lnot\left(x\in A\lor x\in B\right)\land\lnot\left(x\in B\right)\right\} \lor\left\{ \left(x\in A\lor x\in B\right)\land x\in B\right\} \\ & \Leftrightarrow x\in A\lor x\in B\leftrightarrow x\in B\\ & \Leftrightarrow A\cup B=B \end{align*} これより、
\[ A^{c}\supseteq B^{c}\Leftrightarrow A^{c}\cap B^{c}=B^{c} \] となるので、\(A^{c}\)を\(B\)、\(B^{c}\)を\(A\)と置くと、
\[ A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A \] となる。
\begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\in B\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\lor x\in B\right)\land x\notin\emptyset\\ & \Leftrightarrow\left\{ \lnot\left(x\notin A\lor x\in B\right)\land x\in\emptyset\right\} \lor\left\{ \left(x\notin A\lor x\in B\right)\land x\notin\emptyset\right\} \\ & \Leftrightarrow\left(x\in A\land x\notin B\land x\in\emptyset\right)\lor\left\{ \lnot\left(x\in A\land x\notin B\right)\land x\notin\emptyset\right\} \\ & \Leftrightarrow x\in A\land x\notin B\leftrightarrow x\in\emptyset\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}=\emptyset\\ & \Leftrightarrow A\setminus B=\emptyset \end{align*} \begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\in B\\ & \Leftrightarrow x\in A^{c}\lor x\in B\\ & \Leftrightarrow x\in A^{c}\cup B\\ & \Leftrightarrow A^{c}\cup B=X \end{align*} \begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow A^{c}\cup B=X\\ & \Leftrightarrow\left(A^{c}\cup B\right)^{c}=X^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}=\emptyset \end{align*} 直接計算すると、
\begin{align*} A\subseteq B & \Leftrightarrow x\in A\rightarrow x\in B\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\in B\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\notin B^{c}\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A\land x\in B^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A\cap B^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow x\notin A\cap B^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}=\emptyset \end{align*} となる。

(12)

\begin{align*} A\subseteq C\land B\subseteq C & \Leftrightarrow\left(x\in A\rightarrow x\in C\right)\land\left(x\in B\rightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\lor x\in C\right)\land\left(x\notin B\lor x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin A\land x\notin B\right)\lor x\in C\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in A\lor x\in B\right)\lor x\in C\\ & \Leftrightarrow x\in A\cup B\rightarrow x\in C\\ & \Leftrightarrow A\cup B\subseteq C \end{align*}

(13)

\begin{align*} C\subseteq A\land C\subseteq B & \Leftrightarrow\left(x\in C\rightarrow x\in A\right)\land\left(x\in C\rightarrow x\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\notin C\lor x\in A\right)\land\left(x\notin C\lor x\in B\right)\\ & \Leftrightarrow x\notin C\lor\left(x\in A\land x\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in C\right)\lor\left(x\in A\cap B\right)\\ & \Leftrightarrow\left(x\in C\right)\rightarrow\left(x\in A\cap B\right)\\ & \Leftrightarrow C\subseteq A\cap B \end{align*}

(14)

\begin{align*} C\subseteq A\cup B & \Leftrightarrow x\in C\rightarrow x\in A\cup B\\ & \Leftrightarrow x\notin C\lor x\in A\cup B\\ & \Leftrightarrow x\notin C\lor x\in A\lor x\in B\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(x\in C\land x\notin B\right)\lor x\in A\\ & \Leftrightarrow x\in C\setminus B\rightarrow x\in A\\ & \Leftrightarrow C\setminus B\subseteq A \end{align*}

(14)-2

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} C\subseteq A\cup B & \Rightarrow C\cap B^{c}\subseteq\left(A\cup B\right)\cap B^{c}\\ & \Leftrightarrow C\setminus B\subseteq A\cap B^{c}\\ & \Rightarrow C\setminus B\subseteq A \end{align*}

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} C\setminus B\subseteq A & \Leftrightarrow C\cap B^{c}\subseteq A\\ & \Rightarrow\left(C\cap B^{c}\right)\cup B\subseteq A\cup B\\ & \Leftrightarrow C\cup B\subseteq A\cup B\\ & \Rightarrow C\subseteq A\cup B \end{align*}

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(15)

\begin{align*} A\cap B\subseteq C & \Leftrightarrow x\in A\cap B\rightarrow x\in C\\ & \Leftrightarrow x\notin A\cap B\lor x\in C\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\notin B\lor x\in C\\ & \Leftrightarrow x\notin A\lor x\in C\lor x\notin B\\ & \Leftrightarrow x\in A^{c}\lor\lnot\left(x\in B\land x\notin C\right)\\ & \Leftrightarrow x\in A^{c}\leftarrow\left(x\in B\setminus C\right)\\ & \Leftrightarrow B\setminus C\subseteq A^{c} \end{align*} \begin{align*} A\cap B\subseteq C & \Leftrightarrow B\setminus C\subseteq A^{c}\\ & \Leftrightarrow B\cap C^{c}\subseteq A^{c}\\ & \Leftrightarrow A\subseteq\left(B\cap C^{c}\right)^{c}\\ & \Leftrightarrow A\subseteq B^{c}\cup C\\ & \Leftrightarrow A\subseteq C\cup B^{c} \end{align*}

(15)-2

\begin{align*} A\cap B\subseteq C & \Leftrightarrow A\cap\left(B^{c}\right)^{c}\subseteq C\\ & \Leftrightarrow A\setminus B^{c}\subseteq C\\ & \Leftrightarrow A\subseteq C\cup B^{c} \end{align*}

(16)

\begin{align*} X\subseteq\emptyset & \Leftrightarrow X\setminus\emptyset=\emptyset\\ & \Leftrightarrow X\cap\emptyset^{c}=\emptyset\\ & \Leftrightarrow X\cap X=\emptyset\\ & \Leftrightarrow X=\emptyset \end{align*}