和集合・積集合から成り立つ関係
和集合・積集合から成り立つ関係
全体集合を\(X\)として、部分集合を\(A,B,C\subseteq X\)とする。
全体集合を\(X\)として、部分集合を\(A,B,C\subseteq X\)とする。
(1)
\[ A\cap B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=C\cup B^{c} \] 逆は一般的に成り立たない。(2)
\[ A\cap B=C\Rightarrow A\cap B^{c}=A\cap C^{c} \] 逆は成り立たない。(3)
\[ A\cup B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=A\cup C^{c} \] 逆は成り立たない。(4)
\[ A\cup B=C\Rightarrow A\cap B^{c}=C\cap B^{c} \] 逆は成り立たない。(1)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cup B^{c} & =\left(A\cap B\right)\cup B^{c}\\ & =C\cup B^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cap B & =\left(A\cup B^{c}\right)\cap B\\ & =\left(C\cup B^{c}\right)\cap B\\ & =C\cap B\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。(2)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cap B^{c} & =A\cap\left(A^{c}\cup B^{c}\right)\\ & =A\cap\left(A\cap B\right)^{c}\\ & =A\cap C^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cap B & =A\cap\left(A^{c}\cup B\right)\\ & =A\cap\left(A\cap B^{c}\right)^{c}\\ & =A\cap\left(A\cap C^{c}\right)^{c}\\ & =A\cap\left(A^{c}\cup C\right)\\ & =A\cap C\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。(3)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cup B^{c} & =A\cup\left(A^{c}\cap B^{c}\right)\\ & =A\cup\left(A\cup B\right)^{c}\\ & =A\cup C^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cup B & =A\cup\left(A^{c}\cap B\right)\\ & =A\cup\left(A\cup B^{c}\right)^{c}\\ & =A\cup\left(A\cup C^{c}\right)^{c}\\ & =A\cup\left(A^{c}\cap C\right)\\ & =A\cup C\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。(4)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cap B^{c} & =\left(A\cup B\right)\cap B^{c}\\ & =C\cap B^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cap B & =\left(A\cup B^{c}\right)\cap B\\ & =\left(C\cap B^{c}\right)\cap B\\ & =C\cap B\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 和集合・積集合から成り立つ関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vt5y0beo/ |
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集合の演算その他
\[
A\cup B=A\cap B\Leftrightarrow A=B
\]
対称差集合の演算
\[
A\bigtriangleup B=A^{c}\bigtriangleup B^{c}
\]
差集合の演算
\[
\left(A\setminus B\right)\setminus C=A\setminus\left(B\cup C\right)
\]
否定包含関係を含む式
\begin{align*}
A\nsubseteq B & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c}\\
& \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset\\
& \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A\\
& \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A\\
& \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset
\end{align*}