(1)

\begin{align*} A\subsetneq B & :\Leftrightarrow A\subseteq B\land A\ne B\\ & \Leftrightarrow A\subseteq B\land\lnot\left(A\subseteq B\land B\subseteq A\right)\\ & \Leftrightarrow A\subseteq B\land\left(A\nsubseteq B\lor B\nsubseteq A\right)\\ & \Leftrightarrow A\subseteq B\land B\nsubseteq A\\ & \Leftrightarrow\left(\forall a\in A,a\in B\right)\land\left(\exists b\in B,b\notin A\right) \end{align*}

(2)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\subsetneq B & \Leftrightarrow A\subseteq B\land A\ne B\\ & \Rightarrow A\subseteq B \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A=\emptyset,B=\emptyset\)とすると、左辺は\(A\subsetneq B\Leftrightarrow\emptyset\subsetneq\emptyset\Leftrightarrow\bot\)となり偽、右辺は\(A\subseteq B\Leftrightarrow\emptyset\subseteq\emptyset\Leftrightarrow\top\)となり真となるので\(\Leftarrow\)は成り立たない。

(3)

\begin{align*} A\subsetneq B & \Leftrightarrow A\subseteq B\land A\ne B\\ & \Leftrightarrow A^{c}\supseteq B^{c}\land A\ne B\\ & \Leftrightarrow A^{c}\supsetneq B^{c} \end{align*}

(4)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\subsetneq B\land B\subsetneq C & \Leftrightarrow A\subseteq B\land B\nsubseteq A\land B\subseteq C\land C\nsubseteq B\\ & \Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq C\land B\nsubseteq A\land C\nsubseteq B\\ & \Rightarrow A\subseteq B\land B\subseteq C\land B\nsubseteq A\land B\subseteq C\\ & \Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq C\land\left(\exists b\in B,b\notin A\right)\land\left(\forall c\in B,c\in C\right)\\ & \Rightarrow A\subseteq B\land B\subseteq C\land\exists b\in B,b\notin A\land b\in C\\ & \Rightarrow A\subseteq B\land B\subseteq C\land A\ne C\\ & \Rightarrow A\subseteq C\land A\ne C\\ & \Leftrightarrow A\subsetneq C \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A=\emptyset,B=\left\{ b\right\} ,C=\left\{ a\right\} \)とすれば右辺は真であるが、左辺は偽となる。

(5)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\subsetneq B\land B\subseteq C & \Leftrightarrow A\subsetneq B\land\left(B\subsetneq C\lor B=C\right)\\ & \Leftrightarrow\left(A\subsetneq B\land B\subsetneq C\right)\lor\left(A\subsetneq B\land B=C\right)\\ & \Rightarrow A\subsetneq C\lor\left(A\subsetneq C\land B=C\right)\\ & \Leftrightarrow A\subsetneq C \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

\(A=\emptyset,B=\left\{ b\right\} ,C=\left\{ a\right\} \)とすれば右辺は真であるが、左辺は偽となる。

(6)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\subseteq B\land B\subsetneq C & \Leftrightarrow\left(A\subsetneq B\lor A=B\right)\land B\subsetneq C\\ & \Leftrightarrow\left(A\subsetneq B\land B\subsetneq C\right)\lor\left(A=B\land B\subsetneq C\right)\\ & \Rightarrow A\subsetneq C\lor\left(A=B\land A\subsetneq C\right)\\ & \Leftrightarrow A\subsetneq C \end{align*}

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

\(A=\emptyset,B=\left\{ b\right\} ,C=\left\{ a\right\} \)とすれば右辺は真であるが、左辺は偽となる。

(7)

\begin{align*} A\cup B\subsetneq C & \Leftrightarrow A\cup B\subseteq C\land A\cup B\ne C\\ & \Leftrightarrow A\subseteq C\land B\subseteq C\land A\cup B\ne C\\ & \Leftrightarrow\left(A\subsetneq C\lor A=C\right)\land\left(B\subsetneq C\lor B=C\right)\land A\cup B\ne C\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(A\subsetneq C\land B\subsetneq C\right)\lor\left(A=C\land B\subsetneq C\right)\lor\left(A\subsetneq C\land B=C\right)\lor\left(A=C\land B=C\right)\right\} \land A\cup B\ne C\\ & \Leftrightarrow A\subsetneq C\land B\subsetneq C\land A\cup B\ne C \end{align*}

(8)

\begin{align*} C\subsetneq A\cap B & \Leftrightarrow C\subseteq A\cap B\land C\ne A\cap B\\ & \Leftrightarrow C\subseteq A\land C\subseteq B\land C\ne A\cap B\\ & \Leftrightarrow\left(C\subsetneq A\lor C=A\right)\land\left(C\subsetneq B\lor C=B\right)\land C\ne A\cap B\\ & \Leftrightarrow\left\{ \left(C\subsetneq A\land C\subsetneq B\right)\lor\left(C=A\land C\subsetneq B\right)\lor\left(C\subsetneq A\land C=B\right)\lor\left(C=A\land C=B\right)\right\} \land C\ne A\cap B\\ & \Leftrightarrow C\subsetneq A\land C\subsetneq B\land C\ne A\cap B \end{align*}

(9)

\begin{align*} C\subsetneq A\cup B & \Leftrightarrow C\subseteq A\cup B\land C\ne A\cup B\\ & \Leftrightarrow C\setminus B\subseteq A\land C\ne A\cup B \end{align*}

(10)

\begin{align*} A\cap B\subsetneq C & \Leftrightarrow A\cap B\subseteq C\land A\cap B\ne C\\ & \Leftrightarrow B\setminus C\subseteq A^{c}\land A\cap B\ne C \end{align*}

(11)

\begin{align*} A\subsetneq A & \Leftrightarrow A\subseteq A\land A\ne A\\ & \Leftrightarrow A=A\land A\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}

(12)

\begin{align*} A\subsetneq\emptyset & \Leftrightarrow A\subseteq\emptyset\land A\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow A=\emptyset\land A\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}

(13)

\begin{align*} \emptyset\subsetneq A & \Leftrightarrow\emptyset\subseteq A\land\emptyset\ne A\\ & \Leftrightarrow A\ne\emptyset \end{align*}

(14)

\begin{align*} A\subsetneq X & \Leftrightarrow A\subseteq X\land A\ne X\\ & \Leftrightarrow A\ne X \end{align*}

(15)

\begin{align*} X\subsetneq A & \Leftrightarrow X\subseteq A\land X\ne A\\ & \Leftrightarrow X=A\land X\ne A\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}

(16)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} A\subsetneq B & \Leftrightarrow\left(A\subseteq B\right)\land\left(A\ne B\right)\\ & \Leftrightarrow\left(A\subseteq B\right)\land\lnot\left(A\subseteq B\land A\supseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\left(A\subseteq B\right)\land\left(\lnot\left(A\subseteq B\right)\lor\lnot\left(A\supseteq B\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(A\subseteq B\right)\land\lnot\left(A\supseteq B\right)\\ & \Rightarrow\lnot\left(A\supseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow A\nsupseteq B \end{align*}

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A=\left\{ a\right\} ,B=\left\{ b\right\} \)とすると\(\left\{ a\right\} \nsupseteq\left\{ b\right\} \)であるが、\(\left\{ a\right\} \subsetneq\left\{ b\right\} \)が成り立たない。
従って逆は一般的に成り立たない。

補足

\(A\subseteq B\Rightarrow A\nsupseteq B\)は成り立ちません。
何故なら\(A=B\)のとき、\(A\subseteq A\)は成り立ちますが、\(A\nsupseteq A\)は成り立たないからです。

(17)

\(A\subsetneq B\Rightarrow A\nsupseteq B\)の対偶をとると、\(\lnot\left(A\subsetneq B\right)\Leftarrow A\supseteq B\)となる。
これより、\(A\subseteq B\Rightarrow\lnot\left(A\supsetneq B\right)\)が成り立つ。
また、\(A\subsetneq B\Rightarrow A\nsupseteq B\)の逆が一般的に成り立たないので、その対偶の逆も一般的に成り立たない。

(17)-2

\(\Rightarrow\)のみ示す

\begin{align*} A\subseteq B & \Rightarrow\lnot\left(A\supseteq B\right)\lor A\subseteq B\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\supseteq B\right)\lor\left(\left(A\supseteq B\right)\land A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\supseteq B\right)\lor\left(A=B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\left(A\supseteq B\right)\land\left(A\ne B\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\supsetneq B\right) \end{align*}