量化子と集合
全体集合を\(X\)として、その部分集合を\(A\subseteq X\)とする。
全体集合を\(X\)として、その部分集合を\(A\subseteq X\)とする。
(1)
\[ \forall x\in X,x\in A\Leftrightarrow A=X \](2)
\[ \forall x\in X,x\notin A\Leftrightarrow A=\emptyset \](3)
\[ \exists x\in X,x\in A\Leftrightarrow A\ne\emptyset \](4)
\[ \exists x\in X,x\notin A\Leftrightarrow A\ne X \](1)
\begin{align*} \forall x\in X,x\in A & \Leftrightarrow x\in X\rightarrow x\in A\\ & \Leftrightarrow x\in X\leftrightarrow x\in A\\ & \Leftrightarrow A=X \end{align*}(2)
(1)を使う。\begin{align*} \forall x\in X,x\notin A & \Leftrightarrow\forall x\in X,x\in A^{c}\\ & \Leftrightarrow A^{c}=X\\ & \Leftrightarrow A=\emptyset \end{align*}
(2)-2
直接計算する。\begin{align*} \forall x\in X,x\notin A & \Leftrightarrow x\in X\rightarrow x\in A^{c}\\ & \Leftrightarrow x\in X\leftrightarrow x\in A^{c}\\ & \Leftrightarrow A^{c}=X\\ & \Leftrightarrow A=\emptyset \end{align*}
(3)
\begin{align*} \exists x\in X,x\in A & \Leftrightarrow\exists x,x\in X\land x\in A\\ & \Leftrightarrow\exists x,x\in X\cap A\\ & \Leftrightarrow\exists x,x\in A\\ & \Leftrightarrow\exists x\in A,\top\\ & \Leftrightarrow A\ne\emptyset \end{align*}(4)
(3)を使う。\begin{align*} \exists x\in X,x\notin A & \Leftrightarrow\exists x\in X,x\in A^{c}\\ & \Leftrightarrow A^{x}\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow A\ne X \end{align*}
(4)-2
直接計算する。\begin{align*} \exists x\in X,x\notin A & \Leftrightarrow\exists x,x\in X\land x\notin A\\ & \Leftrightarrow\exists x,x\in X\cap A^{c}\\ & \Leftrightarrow\exists x,x\in A^{c}\\ & \Leftrightarrow\exists x\in A^{c},\top\\ & \Leftrightarrow A^{c}\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow A\ne X \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 量化子と集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/m3aqscpc/ |
| SNSボタン |
集合列と非交和
\[
\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)
\]
集合列と和集合・積集合
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}
\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]