集合族の添え字集合が空集合
全体集合が\(X\)で、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族としてその添え字集合\(\Lambda\)が空集合\(\emptyset\)のとき次のようになる。

(1)

\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\emptyset \]

(2)

\[ \bigcap_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=X \]

\(\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}\)を
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\left\{ x;\forall\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \] としてしまうと、
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\left\{ x;\top\right\} \] となり、\(X\)以外の元も\(\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}\)の元になるので注意。

(1)

\begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda} & =\left\{ x\in X;\exists\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists\lambda\in\emptyset,\lambda\in\emptyset\land x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists\lambda\in\emptyset,\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\bot\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}

(2)

\begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda} & =\left\{ x\in X;\forall\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall\lambda\in\emptyset,\lambda\in\emptyset\rightarrow x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall\lambda\in\emptyset,\top\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\top\right\} \\ & =X \end{align*}

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タイトル	集合族の添え字集合が空集合
URL	https://www.nomuramath.com/so7v1422/
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集合列と非交和

\[ \bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right) \]

集合列と和集合・積集合

\[ \bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k} \]

単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合

\[ A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k} \]

集合列の和集合と積集合の包含関係

\[ \forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \]