集合族の添え字集合が空集合
集合族の添え字集合が空集合
全体集合が\(X\)で、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族としてその添え字集合\(\Lambda\)が空集合\(\emptyset\)のとき次のようになる。
全体集合が\(X\)で、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族としてその添え字集合\(\Lambda\)が空集合\(\emptyset\)のとき次のようになる。
(1)
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\emptyset \](2)
\[ \bigcap_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=X \]\(\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}\)を
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\left\{ x;\forall\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \] としてしまうと、
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\left\{ x;\top\right\} \] となり、\(X\)以外の元も\(\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}\)の元になるので注意。
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\left\{ x;\forall\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \] としてしまうと、
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\left\{ x;\top\right\} \] となり、\(X\)以外の元も\(\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}\)の元になるので注意。
(1)
\begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda} & =\left\{ x\in X;\exists\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists\lambda\in\emptyset,\lambda\in\emptyset\land x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists\lambda\in\emptyset,\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\bot\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}(2)
\begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda} & =\left\{ x\in X;\forall\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall\lambda\in\emptyset,\lambda\in\emptyset\rightarrow x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall\lambda\in\emptyset,\top\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\top\right\} \\ & =X \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 集合族の添え字集合が空集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/so7v1422/ |
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集合族の和集合・積集合の定義
\[
\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\}
\]
和集合・積集合から成り立つ関係
\[
A\cap B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=C\cup B^{c}
\]
集合の演算その他
\[
A\cup B=A\cap B\Leftrightarrow A=B
\]
対称差集合の演算
\[
A\bigtriangleup B=A^{c}\bigtriangleup B^{c}
\]