集合族の添え字集合が空集合
全体集合が\(X\)で、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族としてその添え字集合\(\Lambda\)が空集合\(\emptyset\)のとき次のようになる。
全体集合が\(X\)で、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族としてその添え字集合\(\Lambda\)が空集合\(\emptyset\)のとき次のようになる。
(1)
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\emptyset \](2)
\[ \bigcap_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=X \]\(\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}\)を
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\left\{ x;\forall\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \] としてしまうと、
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\left\{ x;\top\right\} \] となり、\(X\)以外の元も\(\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}\)の元になるので注意。
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\left\{ x;\forall\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \] としてしまうと、
\[ \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\left\{ x;\top\right\} \] となり、\(X\)以外の元も\(\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}\)の元になるので注意。
(1)
\begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda} & =\left\{ x\in X;\exists\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists\lambda\in\emptyset,\lambda\in\emptyset\land x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists\lambda\in\emptyset,\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\bot\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}(2)
\begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda} & =\left\{ x\in X;\forall\lambda\in\emptyset,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall\lambda\in\emptyset,\lambda\in\emptyset\rightarrow x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall\lambda\in\emptyset,\top\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\top\right\} \\ & =X \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 集合族の添え字集合が空集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/so7v1422/ |
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2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[
a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}
\]
直積集合の性質
\[
\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)
\]
直積集合の定義
\[
A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\}
\]