数列が収束するならば有界
上限定理・下限定理
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半順序集合・狭義半順序集合の辞書式順序
\[\left(x_{1},y_{1}\right)\preceq\left(x_{2},y_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}\prec_{X}x_{2}\lor\left(x_{1}=x_{2}\land y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\right)\]
半順序集合と狭義半順序集合の関係
半順序関係と狭義半順序関係
\[x\prec y\Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y\]
上方集合と下方集合の定義
\[\forall x\in A,\forall y\in X,x\preceq y\rightarrow y\in A\]
部分順序集合
\[b_{1}\preceq_{A}b_{2}\Leftrightarrow b_{1}\preceq_{B}b_{2}\]
順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像
順序写像同士の合成写像は順序写像になる。
2つの集合上の二項関係(一意性・全域性)の定義
\[aRc\land bRc\Rightarrow a=b\]
順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値
順序を反映する写像(順序単射)ならば単射
順序同型は同値関係
順序同型は同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。
狭義半順序関係の性質
===thm ***狭義半順序関係の性質*** # (1) 狭義半順序関係(非反射律・推移律)を満たすとき非対称律も満たす。 # (2) 狭義半順序関係を満たすとき$aRb\land bRa\Leftrightarrow\bot$と$aRb...
順序写像・単調写像・順序反映・順序埋め込み・順序同型写像の定義
\[a\preceq_{X}b\Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)\]
実数の上限・下限の別定義
上界(下界)・上限(下限)・最大元(最小元)・極大元(極小元)の定義
\[\min U=\sup A\]
順序集合の双対順序集合と狭義順序集合の狭義逆順序
\[\succeq:=\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\preceq a\right\} \]
半順序集合と全順序集合の定義
隣接関係の定義
\[\forall x,y\in X,x\nsim x\land\left(x\sim y\rightarrow y\sim x\right)\]
自明な同値関係と相等関係
\[\forall x,y\in X,x\sim y\]
2項関係の性質
\[a=b\Rightarrow aRb\land bRa\]
同値関係と順序関係(前順序・弱順序・半順序・全順序・整列順序・狭義半順序・狭義全順序)の定義
集合の色々な2項関係(反射律・非反射律・余反射律・対称律・反対称律・非対称律・推移律・完全律・3分律・ユークリッド律・外延律・整礎律・全域性・集合性の定義)の定義と性質
\[\forall a\in X,aRa\]
2項関係の定義
\[\left(a,b\right)\in R\Leftrightarrow aRb\]
基本的な全単射が存在する例
終域が2つの写像全体の集合
\[\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\]
定義関数の定義と性質
\[1_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ,x\mapsto\begin{cases}1 & x\in A\\0 & x\notin A\end{cases}\]