2項関係の性質
2項関係の性質
(1)
対称律・推移律・連続律を満たすなら反射律を満たす。
(2)
反射律が成り立つとき、反対称律の逆
\[
a=b\Rightarrow aRb\land bRa
\]
が成り立つ。
(3)
反射律・反対称律が成り立つとき、
\[
aRb\land bRa\Leftrightarrow a=b
\]
が成り立つ。
(1)
対称律・推移律・連続律を満たすとき、
\begin{align*}
\top & \Leftrightarrow\forall a\exists b,aRb\land aRb\\
& \Leftrightarrow\forall a\exists b,aRb\land bRa\\
& \Rightarrow\forall a,aRa
\end{align*}
となり、\(\forall a,aRa\)は真となるので反射律を満たす。
(2)
反射律\(aRa\)が成り立っているので、
\begin{align*}
a=b & \Leftrightarrow\left(aRa\land bRb\right)\land a=b\\
& \Leftrightarrow\left(aRa\land a=b\right)\land\left(bRb\land b=a\right)\\
& \Leftrightarrow\left(aRb\land a=b\right)\land\left(bRa\land b=a\right)\\
& \Leftrightarrow\left(aRb\land bRa\right)\land a=b\\
& \Rightarrow aRb\land bRa
\end{align*}
となり題意は成り立つ。
(3)
反射律が成り立っているとき、(2)より\(a=b\Rightarrow aRb\land bRa\)が成り立ち、反対称律が成り立っているとき、\(aRb\land bRa\Rightarrow a=b\)が成り立つ。
従って反射律・反対称律が成り立つとき、\(aRb\land bRa\Leftrightarrow a=b\)が成り立つ。
ページ情報
タイトル | 2項関係の性質 |
URL | https://www.nomuramath.com/uguho9u7/ |
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