順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像
順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像
\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right),\left(Z,\preceq_{Z}\right)\)を順序集合として、\(f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z\)を写像とする。
\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right),\left(Z,\preceq_{Z}\right)\)を順序集合として、\(f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z\)を写像とする。
(1)
写像\(f,g\)が共に順序写像ならば合成写像\(g\circ f\)も順序写像になる。(2)
写像\(f,g\)が共に順序単射ならば合成写像\(g\circ f\)も順序単射になる。(3)
写像\(f,g\)が共に順序埋め込み写像ならば合成写像\(g\circ f\)も順序埋め込み写像になる。(1)
\(f,g\)を順序写像とする。\begin{align*} a\preceq_{X}b & \Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)\\ & \Rightarrow g\left(f\left(a\right)\right)\preceq_{Z}g\left(f\left(a\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(g\circ f\right)\left(a\right)\preceq_{Z}\left(g\circ f\right)\left(b\right) \end{align*} となるので、題意は成り立つ。
(2)
\(f,g\)を順序単射とする。\begin{align*} \left(g\circ f\right)\left(a\right)\preceq_{Z}\left(g\circ f\right)\left(b\right) & \Leftrightarrow g\left(f\left(a\right)\right)\preceq_{Z}g\left(f\left(a\right)\right)\\ & \Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)\\ & \Rightarrow a\preceq_{X}b \end{align*} となるので、題意は成り立つ。
(3)
順序埋め込み写像は順序写像かつ順序単射である。これより、順序埋め込み写像同士の合成写像は順序写像同士の合成写像になるので、順序写像となる。
同様に順序埋め込み写像同士の合成写像は順序単射同士の合成写像になるので、順序単射となる。
従って、合成写像は順序写像かつ順序単射であるので順序埋め込み写像となり題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kdgbm9n4/ |
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順序写像・単調写像・順序反映・順序埋め込み・順序同型写像の定義
\[
a\preceq_{X}b\Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)
\]
順序集合の双対順序集合と狭義順序集合の狭義逆順序
\[
\succeq:=\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\preceq a\right\}
\]
順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値
整列可能定理
任意の集合は適当な順序を定めることによって整列集合にできる。