集合の色々な2項関係(反射律・非反射律・余反射律・対称律・反対称律・非対称律・推移律・完全律・3分律・ユークリッド律・連続律・集合律・整礎律・外延律の定義)の定義
集合\(X\)の元に対し2項関係\(R\)が定義されているとする。

(1)反射律(reflexive)

任意の\(a\in X\)に対し\(aRa\)が成り立つとき、\(R\)は反射律を満たすという。
すなわち\(\forall a\in X,aRa\)である。
例：\(\leq\)は反射律を満たすが\(<\)は反射律を満たさない。

(2)非反射律(irreflexive)

任意の\(a\in X\)に対し\(aRa\)が成り立たないとき、\(R\)は非反射律を満たすという。
すなわち\(\forall a\in X,\lnot\left(aRa\right)\)である。
例：\(<\)は非反射律を満たす。

(3)余反射律(coreflexive)

任意の\(a,b\in X\)に対し\(aRb\)ならば\(a=b\)となるとき、\(R\)は余反射律を満たすという。。
すなわち\(\forall a,b\in X,aRb\rightarrow a=b\)である。
例：\(=\)は余反射律を満たす。

(4)対称律(symmetric)

任意の\(a,b\in X\)に対し\(aRb\)ならば\(bRa\)となるとき、\(R\)は対称律を満たすという。
すなわち\(\forall a,b\in X,aRb\rightarrow bRa\)である。
例：\(=\)と\(\ne\)は対称律を満たす。

(5)反対称律(antisymmetric)

任意の\(a,b\in X\)に対し\(aRb\)かつ\(bRa\)ならば\(a=b\)となるとき、\(R\)は反対称律を満たすという。
すなわち\(\forall a,b\in X,aRb\land bRa\rightarrow a=b\)である。
例：\(\leq\)は反対称律を満たす。

(6)非対称律(asymmetric)

任意の\(a,b\in X\)に対し\(aRb\)ならば\(bRa\)とならないとき、\(R\)は非対称律を満たすという。
すなわち\(\forall a,b\in X,aRb\rightarrow\lnot\left(bRa\right)\)である。
例：\(<\)は非対称律を満たす。

(7)推移律(transitive)

任意の\(a,b,c\in X\)に対し\(aRb\)かつ\(bRc\)ならば\(aRc\)となるとき、\(R\)は推移律を満たすという。
すなわち\(\forall a,b,c\in X,aRb\land bRc\rightarrow aRc\)である。
例：\(<\)と\(\leq\)は推移律である。

(8)完全律(total)・全順序律

任意の\(a,b\in X\)に対し\(aRb\)または\(bRa\)のどちらか又は両方が成り立つとき、\(R\)は完全律という。
すなわち\(\forall a,b\in X,aRb\lor bRa\)である。
\(aRb\)または\(bRc\)どちらか又は両方が成り立つとき\(a\)と\(b\)は比較可能であるという。
\(aRb\)または\(bRc\)のどちらも成り立たないとき\(a\)と\(b\)は比較不能であるという。
例：\(\leq\)は完全律を満たすが、\(<\)は完全律を満たさない。

(9)3分律(trichotomous)

任意の\(a,b\in X\)に対し\(aRb\)または\(bRa\)または\(a=b\)のいづれか1つのみ成り立つとき、\(R\)は3分律を満たすという。
例:\(<\)は三分律を満たす。

(10)ユークリッド律(Euclidean)

任意の\(a,b,c\in X\)に対し\(aRb\)かつ\(aRc\)ならば\(bRc\)かつ\(cRb\)となるとき、\(R\)は右ユークリッド律を満たすという。
すなわち\(\forall a,b,c\in X,aRb\land aRc\rightarrow bRc\land cRb\)である。
任意の\(a,b,c\in X\)に対し\(aRc\)かつ\(bRc\)ならば\(aRb\)かつ\(bRa\)となるとき、\(R\)は左ユークリッド律を満たすという。
すなわち\(\forall a,b,c\in X,aRc\land bRc\rightarrow aRb\land bRa\)である。
例：\(=\)は右ユークリッド律を満たし、左ユークリッド律も満たす。

(11)連続律(serial)

任意の\(a\in X\)に対し、ある\(b\in X\)が存在し、\(aRb\)が成り立つとき、\(R\)は連続律を満たすという。
すなわち\(\forall a\in X,\exists b\in X,aRb\)である。
例：集合として整数\(\mathbb{Z}\)を考えると、\(<\)も\(>\)も連続律を満たす。
例：集合として自然数\(\mathbb{N}\)を考えると、\(<\)は連続律を満たすが、\(>\)は連続律を満たさない。

(12)集合律(set-like)

任意の\(a\in X\)に対し\(\left\{ b\in Y;bRa\right\} \)が集合となるとき、\(R\)を集合律を満たすという。
例:2つの集合同士の関係や\(\in\)の関係は集合律となる。

(13)整礎律(well-founded)

集合\(X\)の任意の空でない部分集合\(A\)が極小元\(a\)を持つとき、\(R\)は整礎律を満たすという。
例：部分集合として自然数\(\mathbb{N}\)を考えると、\(\leq\)も\(<\)も整礎律を満たす。

(14)外延律(extensive)

任意の\(a,b,c\in X\)に対し、\(cRa\Leftrightarrow cRb\)ならば\(a=b\)となるとき、\(R\)は外延律を満たすという。
すなわち\(\forall a,b,c\in X,cRa\leftrightarrow cRb\Rightarrow a=b\)である。
例：\(=\)は外延律を満たす。