終域が2つの写像全体の集合

終域が2つの写像全体の集合
集合\(X\)に対し、\(X\)から\(\left\{ 0,1\right\} \)への写像全体の集合を\(\left\{ 0,1\right\} ^{X}\)で表す。
このとき任意の集合\(X\)に対して\(\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\)となる。

任意の\(A\in2^{X}\)に対し写像を指示関数
\[ 1_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ,x\mapsto\begin{cases} 1 & x\in A\\ 0 & x\notin A \end{cases} \]
で定める。
このとき写像
\[ f:2^{X}\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ^{X},A\mapsto1_{A} \]
は全単射になるので、\(\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\)となる。


ページ情報

タイトル

終域が2つの写像全体の集合

URL

https://www.nomuramath.com/q1zfp3zc/

SNSボタン