終域が2つの写像全体の集合
終域が2つの写像全体の集合
集合\(X\)に対し、\(X\)から\(\left\{ 0,1\right\} \)への写像全体の集合を\(\left\{ 0,1\right\} ^{X}\)で表す。
このとき任意の集合\(X\)に対して\(\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\)となる。
集合\(X\)に対し、\(X\)から\(\left\{ 0,1\right\} \)への写像全体の集合を\(\left\{ 0,1\right\} ^{X}\)で表す。
このとき任意の集合\(X\)に対して\(\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\)となる。
任意の\(A\in2^{X}\)に対し写像を指示関数
\[ 1_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ,x\mapsto\begin{cases} 1 & x\in A\\ 0 & x\notin A \end{cases} \] で定める。
このとき写像
\[ f:2^{X}\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ^{X},A\mapsto1_{A} \] は全単射になるので、\(\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\)となる。
\[ 1_{A}:X\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ,x\mapsto\begin{cases} 1 & x\in A\\ 0 & x\notin A \end{cases} \] で定める。
このとき写像
\[ f:2^{X}\rightarrow\left\{ 0,1\right\} ^{X},A\mapsto1_{A} \] は全単射になるので、\(\left|2^{X}\right|=\left|\left\{ 0,1\right\} ^{X}\right|\)となる。
ページ情報
| タイトル | 終域が2つの写像全体の集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/q1zfp3zc/ |
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オイラーの定理
\[
p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right)
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
\[
\frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x}
\]
コンウェイのチェーン表記の優先順位
\begin{align*}
& a\rightarrow\left(b\rightarrow c\right)\\
& a\rightarrow b\rightarrow c\\
& \left(a\rightarrow b\right)\rightarrow c
\end{align*}
オイラーのトーシェント関数の定義
\[
\phi\left(n\right)=\left|\left\{ k\in\mathbb{N};1\leq k\leq n,\gcd\left(k,n\right)=1\right\} \right|
\]