自明な同値関係と相等関係
自明な同値関係と相等関係
この同値関係は\(A/\sim=\left\{ A\right\} \)となる。
これを自明な同値関係という。
この同値関係は\(\left(A/=\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ;a\in A\right\} \)となり、\(A\)とは異なる集合であるが\(A\)と同じ集合とみても問題がない。
これを相等関係という。
(1)自明な同値関係
集合\(X\)があり、任意の\(x,y\in X\)に対し、同値\(x\sim y\)であるとき、すなわち\(\forall x,y\in X,x\sim y\)のとき\(\sim\)は\(X\)上の同値関係となる。この同値関係は\(A/\sim=\left\{ A\right\} \)となる。
これを自明な同値関係という。
(2)相等関係
集合\(X\)があり、任意の\(x,y\in X\)に対し、\(x=y\rightarrow x\sim y\)であるとき、すなわち\(\forall x,y\in X,x=y\rightarrow x\sim y\)のとき、\(\sim\)は\(X\)上の同値関係となる。この同値関係は\(\left(A/=\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ;a\in A\right\} \)となり、\(A\)とは異なる集合であるが\(A\)と同じ集合とみても問題がない。
これを相等関係という。
(1)
明らかに反射律・対称律・推移律を満たすので同値関係となる。(2)
明らかに反射律・対称律・推移律を満たすので同値関係となる。ページ情報
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2つの集合上の二項関係(一意性・全域性)の定義
\[
aRc\land bRc\Rightarrow a=b
\]
自明な同値関係と相等関係
集...
集合の色々な2項関係(反射律・非反射律・余反射律・対称律・反対称律・非対称律・推移律・完全律・3分律・ユークリッド律・連続律・集合律・整礎律・外延律の定義)の定義
\[
\forall a\in X,a
\]
同値関係と順序関係(前順序・弱順序・半順序・全順序・整列順序・狭義半順序・狭義全順序)の定義