順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値
順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値
順序を保ち(順序写像)かつ順序を反映する写像(順序単射)であることと、順序埋め込み写像は同値である。
順序を保ち(順序写像)かつ順序を反映する写像(順序単射)であることと、順序埋め込み写像は同値である。
\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)を順序集合として、\(f:X\rightarrow Y\)を写像とする。
\[ \left\{ a\preceq b\rightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\right\} \land\left\{ f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\rightarrow a\preceq b\right\} \Leftrightarrow a\preceq b\leftrightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right) \] となるので、題意は成り立つ。
\[ \left\{ a\preceq b\rightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\right\} \land\left\{ f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\rightarrow a\preceq b\right\} \Leftrightarrow a\preceq b\leftrightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right) \] となるので、題意は成り立つ。
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タイトル | 順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値 |
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順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像
順序写像同士の合成写像は順序写像になる。
全順序集合での順序写像・順序単射と全単射
順序同型は同値関係
順序同型は同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。
切片の定義
\[
X\left\langle a\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\}
\]