順序集合の双対順序集合と狭義順序集合の狭義逆順序
順序集合の双対順序集合と狭義順序集合の狭義逆順序
\[ \succeq:=\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\preceq a\right\} \] とすると、\(\left(X,\succeq\right)\)も半順序集合となる。
この\(\left(X,\succeq\right)\)を\(\left(X,\preceq\right)\)の双対順序集合という。
同様に全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)があるとき、\(\left(X,\succeq\right)\)も全順序集合となる。
\[ \succ:=\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\prec a\right\} \] とすると、\(\left(X,\succ\right)\)も狭義半順序集合となる。
同様に狭義全順序集合\(\left(X,\prec\right)\)があるとき、\(\left(X,\succ\right)\)も狭義全順序集合となる。
(1)
半順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)があるとき、\[ \succeq:=\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\preceq a\right\} \] とすると、\(\left(X,\succeq\right)\)も半順序集合となる。
この\(\left(X,\succeq\right)\)を\(\left(X,\preceq\right)\)の双対順序集合という。
同様に全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)があるとき、\(\left(X,\succeq\right)\)も全順序集合となる。
(2)
狭義半順序集合\(\left(X,\prec\right)\)があるとき、\[ \succ:=\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\prec a\right\} \] とすると、\(\left(X,\succ\right)\)も狭義半順序集合となる。
同様に狭義全順序集合\(\left(X,\prec\right)\)があるとき、\(\left(X,\succ\right)\)も狭義全順序集合となる。
(0)
\[ a\succeq b\Leftrightarrow\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\preceq a\right\} \] \[ b\preceq a\Leftrightarrow\left\{ \left(b,a\right)\in X^{2};b\preceq a\right\} \] なのでこれらの間の関係は\(a\)と\(b\)を入れ替えて\(\succeq\)を\(\preceq\)にすればいい。すなわち、\(a\succeq b\Leftrightarrow b\preceq a\)となる。
同様に\(a\succ b\Leftrightarrow b\prec a\)となる。
(1)
\(\left(X,\preceq\right)\)は半順序集合であるので、反射律・反対称律・推移律を満たす。\(a\preceq a\)であるので、\(a\succeq a\)となり反射律を満たす。
\(b\succeq a\land a\succeq b\Leftrightarrow a\preceq b\land b\preceq a\Leftrightarrow a=b\)となるので反対称律を満たす。
\(a\succeq b\land b\succeq c\Leftrightarrow b\preceq a\land c\preceq b\Leftrightarrow c\preceq a\Leftrightarrow a\succeq c\)となるので推移律を満たす。
これより、\(\left(X,\succeq\right)\)は半順序集合となる。
\(\left(X,\preceq\right)\)が完全律を満たすならば\(a\succeq b\lor b\succeq a\Leftrightarrow b\preceq a\lor a\preceq b\Leftrightarrow\top\)となるので\(\left(X,\succeq\right)\)も完全律を満たす。
これより、\(\left(X,\preceq\right)\)が全順序集合なら\(\left(X,\succeq\right)\)も全順序集合となる。
(2)
\(\left(X,\prec\right)\)は狭義半順序集合であるので、非反射律・推移律を満たす。\(a\succ a\Leftrightarrow a\prec a\Leftrightarrow\bot\)となるので非反射律となる。
\(a\succ b\land b\succ c\Leftrightarrow b\prec a\land c\prec b\Leftrightarrow c\prec a\Leftrightarrow a\succ c\)となるので推移律を満たす。
これより、\(\left(X,\succ\right)\)は狭義半順序集合となる。
\(\left(X,\prec\right)\)が3分律を満たすとする。
\(a\succ b\lor b\succ a\lor a=b\Leftrightarrow b\prec a\lor a\prec b\lor a=b\Leftrightarrow\top\)
\(a\succ b\land b\succ a\)\(\Leftrightarrow b\prec a\land a\prec b\Leftrightarrow\bot\)
\(a\succ b\land a=b\Leftrightarrow b\prec a\land a=b\Leftrightarrow a\prec a\land a=b\Leftrightarrow\bot\)
同様に\(b\succ a\land a=b\Leftrightarrow\bot\)
これより、\(\left(X,\succ\right)\)も3分律を満たす。
故に\(\left(X,\prec\right)\)が狭義全順序集合なら\(\left(X,\succ\right)\)も狭義全順序集合となる。
ページ情報
タイトル | 順序集合の双対順序集合と狭義順序集合の狭義逆順序 |
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半順序関係と狭義半順序関係
\[
x\prec y\Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y
\]
切片の定義
\[
X\left\langle a\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\}
\]
整列可能定理
任意の集合は適当な順序を定めることによって整列集合にできる。
超限帰納法
\[
P\left(\min X\right)\land\forall x\in X,\left(\forall a\prec x,P\left(a\right)\right)\rightarrow P\left(x\right)\Rightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)
\]