上界(下界)・上限(下限)・最大元(最小元)・極大元(極小元)の定義

by nomura · 2023年9月18日

上界(下界)・上限(下限)・最大元(最小元)・極大元(極小元)の定義
$\left(X,\preceq\right)$を半順序集合として$A\subseteq X$で$A$は空集合でないとする。

(1)上界(upper bound)

ある$x\in X$が存在し任意の$y\in A$に対し、$y\preceq x$となるとき、$x$は$A$の上界であるという。
$A$の上界を$U$で表すと、$\left(\exists x\in X,\forall y\in A,y\preceq x\right)\Leftrightarrow x\in U$となる。

(2)上限(supremum)・最小上界(least upper bound)

$A$の上界全体の集合$U$の最小元$x$を$A$の上限といい、$\sup A$で表す。
すなわち$\min U=\sup A$となる。

(3)最大元(maximum element)

ある$x\in A$が存在し任意の$y\in A$に対し、$y\preceq x$となるとき、$x$は$A$の最大元であるといい$\max A$で表される。
すなわち、$\left(\exists x\in A,\forall y\in A,y\preceq x\right)\Leftrightarrow\max A=x$となる。

(4)極大元(maximal element)

ある$x\in A$が存在し任意の$y\in A$に対し$x\preceq y\Rightarrow x=y$となるとき、$x$は$A$の極大元という。
すなわち、$\exists x\in A,\forall y\in A,\left(x\preceq y\rightarrow x=y\right)$となる。

(5)下界(lower bound)

ある$x\in X$が存在し任意の$y\in A$に対し、$y\succeq x$となるとき、$x$は$A$の下界であるという。
$A$の下界を$L$で表すと、$\left(\exists x\in X,\forall y\in A,x\preceq y\right)\Leftrightarrow x\in L$となる。

(6)下限(infimum) ・最大下界(greatest lower bound)

$A$の下界全体の集合$L$の最大元$x$を$A$の下限といい、$\inf A$で表す。
すなわち$\max L=\inf A$となる。

(7)最小元(minimum element)

ある$x\in A$が存在し任意の$y\in A$に対し、$y\succeq x$となるとき、$x$は$A$の最小元であるといい$\min A$で表される。
すなわち、$\exists x\in A,\forall y\in A,$$x\preceq y\rightarrow\min A=x$となる。

(8)極小元(minimal element)

ある$x\in A$が存在し任意の$y\in A$に対し$x\succeq y\Rightarrow x=y$となるとき、$x$は$A$の極小元という。
すなわち、$\exists x\in A,\forall y\in A,\left(y\preceq x\rightarrow y=x\right)$となる。

上界と上限

上界$x$は$A$の元とは限らない。

上限$x$は$A$の元とは限らない。

最大元と極大元

$x$が$A$の最大元であるとき、任意の$A$の元は$x$以下である。

$x$が$A$の極大元であるとき、任意の$A$の元は$x$より大きくはならない。

なぜなら$x\preceq y\rightarrow x=y\Leftrightarrow\lnot\left(x\preceq y\right)\lor x=y\Leftrightarrow\lnot\left(x\preceq y\land x\ne y\right)\Leftrightarrow\lnot\left(x\prec y\right)$となるからである。

最大元も極大元も存在するとは限らない。

最大元は存在すれば1つであるが、極大元は存在しても1つとは限らない。

最大元ならば極大元であるが、一般的に逆は成り立たない。

最大元が存在するならばそれは一意的な極大元となる。

極大元が1つのみ存在してもそれが最大元とは限らない。

全順序集合では全ての元同士は比較可能であるので、極大元は最大元になる。

なぜなら全順序集合であるので$\lnot\left(x\preceq y\right)\Leftrightarrow y\prec x$となり、$x$が$A$の極大元であるとき、$\exists x\in A,\forall y\in A,x\preceq y\rightarrow x=y\Leftrightarrow\exists x\in A,\forall y\in A,y\prec x\lor x=y\Leftrightarrow\exists x\in A,\forall y\in A,y\preceq x=\max A=x$となるからである。

上限と最大限

最大元ならば上限であるが、一般的に逆は成り立たない。

何故なら$\max A$は$A$の上界であり、$A$の任意の上界を$p$に対し、$\max A\leq p$となるので上界の最小値は$\max A$となる。
つまり$\sup A=\max A$となる。
逆が成り立たないことは反例で示す。
$X=\mathbb{R}$として$A=\left(-\infty,1\right)$とすると、$\sup A=1$であるが$\max A$は存在しない。
故に逆は成り立たない。

上限は1つのみ存在する。

最大元も1つのみ存在する。

なぜなら、$x,y$の2つの上限が存在するなら、$x$が上限なので$x\preceq y$となり$y$が上限なので$y\preceq x$となるが反対称律より、$x\preceq y\land y\preceq x\Rightarrow x=y$となり$x$と$y$が等しくなるからである。
同様に、$x,y$の2つの最大元が存在するなら、$x$が最大元なので$y\preceq x$となり$y$が上限なので$x\preceq y$となるが反対称律より、$y\preceq x\land x\preceq y\Rightarrow x=y$となり$x$と$y$が等しくなるからである。

上界が存在しても上限が存在するとは限らない。

反例で示す。
$X=\left(0,1\right)\cup\left(2,3\right)$として、$A=\left(0,1\right)$とすると、$A$の上界は$\left(2,3\right)$であるが、$\left(2,3\right)$の最小元は存在しないので$A$の上限は存在しない。
従って題意は成り立つ。
他には、$X=\mathbb{Q},A=\left\{ x\in\mathbb{Q};0<x,x^{2}<2\right\} $としたとき、$A$の上界は存在するが$A$の上限$\sup A$は存在しない。

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最大元と上限には次の3つのうち1つのみが必ず成り立つ。
・最大元と上限が存在する。
・最大元は存在しないが上限は存在する。
・最大元も上限も存在しない。

上限は全体集合によって違う

$A\subseteq Y\subseteq X$となっているとする。
このとき、$X$上では$A$の上限をもたなくても、$Y$上では$A$の上限をもつこともある。
例えば、$X=\left(0,1\right)\cup\left(2,4\right),Y=\left(0,1\right)\cup\left[3,4\right),A=\left(0,1\right)$である。
反対に、$Y$上では$A$の上限をもたなくても、$X$上では$A$の上限をもつこともある。
例えば、$X=\mathbb{R},Y=\left(0,1\right)\cup\left(2,3\right),A=\left(0,1\right)$である。
$X$上での$A$の上限$\sup_{X}A$と$Y$上での$A$の上限$\sup_{Y}A$が異なることもある。
例えば、$X=\left(0,1\right)\cup\left[2,4\right],Y=\left(0,1\right)\cup\left[3,4\right],A=\left(0,1\right)$である。

(1)

$X=$$\left[0,10\right]$、順序として普通の大小関係をとると$\left(X,\leq\right)$は全順序集合となり、$X$の部分集合$\left(0,1\right)$を考える。
このとき、上界は$\left[1,10\right]$の任意の元なら全て満たし、上限は$\left[1,10\right]$の最小元である$1$となる。
最大元と極大元は存在しない。

(2)

有理数全体の集合$\mathbb{Q}$に普通の大小関係を入れた全順序集合$\left(\mathbb{Q},\leq\right)$の部分集合
\[ A_{1}=\left\{ q\in\mathbb{Q};q\leq2\right\} \] \[ A_{2}=\left\{ q\in\mathbb{Q};q<2\right\} \] \[ A_{3}=\left\{ q\in\mathbb{Q};q^{2}\leq2\right\} \] について$\sup A_{1}=\max A_{1}=2$となるが$\sup A_{2}=2$であるが、$\max A_{2}$は存在しない。
また$A_{3}$については$\sup A_{3}$も$\max A_{3}$も存在しない。

(3)

$X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} \right\} $として順序として包含関係$\subseteq$をとると、極大元は$\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} $となるが、最大元は存在しない。

(4)

$X=\mathbb{R}$や$X=\left(0,1\right)$は最大元も極大元も存在しない。

(5)

$X=\mathbb{N}\cup\left\{ a\right\} $として自然数同士には普通の大小関係を入れて、自然数と$a$には大小関係がないとすると、極大元は$a$のみであるが、最大元は存在しない。

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タイトル	上界(下界)・上限(下限)・最大元(最小元)・極大元(極小元)の定義
URL	https://www.nomuramath.com/jib5knwt/
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テューキーの補題

有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。

半順序集合・狭義半順序集合の辞書式順序

\[ \left(x_{1},y_{1}\right)\preceq\left(x_{2},y_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}\prec_{X}x_{2}\lor\left(x_{1}=x_{2}\land y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\right) \]

順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像

順序写像同士の合成写像は順序写像になる。

順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値