全単射であることの証明は省略する。

(1)

\(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}\)として、
\[ f\left(n\right)=\begin{cases} \frac{n}{2} & n\in\left\{ 2m;m\in\mathbb{N}_{0}\right\} \\ \frac{1-n}{2} & n\in\left\{ 2m+1;m\in\mathbb{N}_{0}\right\} \end{cases} \] とすれば全単射になる。

(1)-2

\(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}\)として
\[ f\left(n\right)=\begin{cases} k & n=2k-2\left(k\in\mathbb{N}\right)\\ -k & n=2k-1\left(k\in\mathbb{N}\right) \end{cases} \] とすれば\(f\)は全単射になる。

(2)

\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{+},x\mapsto e^{-x}\)とすれば全単射となる。

(3)

\(f:\left(0,1\right]^{2}\rightarrow\left(0,1\right]\)として、\(f\left(a,b\right)=c\)を無限小数点表示にしてケーニッヒの記法を使い\(a=0.\overline{a_{1}}\overline{a_{2}}\overline{a_{3}}\cdots\overline{a_{n}}\cdots,b=0.\overline{b_{1}}\overline{b_{2}}\overline{b_{3}}\cdots\overline{b_{b}}\cdots,c=0.\overline{a_{1}}\overline{b_{1}}\overline{a_{2}}\overline{b_{2}}\overline{a_{3}}\overline{b_{3}}\cdots,\overline{a_{n}}\overline{b_{n}},\cdots\)となるように\(c\)をとると全単射となる。

-

単射であることの証明は以下のようにすればいい。
\(f:\left(0,1\right]^{2}\rightarrow\left(0,1\right]\)として、\(f\left(a,b\right)=c\)を無限小数点表示で\(a=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}\cdots,b=0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{n}\cdots,c=0.a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}a_{3}b_{3}\cdots,a_{n}b_{n},\cdots\)となるように\(c\)をとると全単射となる。
この写像は全射にはなっていない。
何故なら\(0.11010101\cdots\)に写す点は\(\left(0.1000\cdots,0.111\cdots\right)\)になるはずだが、無限小数点表示では\(\left(0.1000\cdots,0.111\cdots\right)\)=\(\left(0.0999\cdots,0.111\cdots\right)\)なので\(0.019191\cdots\)に写る。
しかし\(0.11010101\cdots\ne0.019191\cdots\)であるので\(0.11010101\cdots\)に写す点は存在しないので全射ではない。

(4)

\(f:\left(0,1\right)\rightarrow\left(a,b\right),x\mapsto\left(b-a\right)x+a\)とすれば全単射となる。

(5)

\(f:\left(0,1\right)\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\frac{1}{1-x}-\frac{1}{x}=\frac{2x-1}{x\left(1-x\right)}\)とすれば全単射となる。

(5)-2

\(f_{1}:\mathbb{R}\rightarrow\left(-1,1\right),x\mapsto\frac{x}{1+\left|x\right|}\)は全単射、\(f_{2}:\left(-1,1\right)\rightarrow\left(0,1\right),x\mapsto\frac{1}{2}\left(x+1\right)\)は全単射なので、\(f_{2}\circ f_{1}\left(x\right)=f_{2}\left(\frac{x}{1+\left|x\right|}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1+\left|x\right|}+1\right)=\frac{1+x+\left|x\right|}{2+2\left|x\right|}\)となるので\(f:\mathbb{R}\rightarrow\left(0,1\right),x\mapsto\frac{1+x+\left|x\right|}{2+2\left|x\right|}\)とすれば全単射になる。

(6)

\(f:\left(0,1\right]\rightarrow\left(0,1\right)\)として\(\frac{1}{2^{0}},\frac{1}{2^{1}},\cdots,\frac{1}{2^{n}},\cdots\)を\(\frac{1}{2^{1}},\frac{1}{2^{2}},\cdots,\frac{1}{2^{n+1}},\cdots\)に写し、それ以外は自分自身に写せばいいので、
\[ f\left(x\right)=\begin{cases} x & x\notin\left\{ \frac{1}{2^{n}};n\in\mathbb{N}_{0}\right\} \\ \frac{x}{2} & x\in\left\{ \frac{1}{2^{n}};n\in\mathbb{N}_{0}\right\} \end{cases} \] とすれば全単射になる

(7)

\(f:\left[0,1\right)\rightarrow\left(0,1\right)\)として\(\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\cdots,\frac{n}{n+1},\cdots\)を\(\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\cdots,\frac{n+1}{n+2},\cdots\)に写し、それ以外は自分自身に写せばいいので、
\[ f\left(x\right)=\begin{cases} x & x\notin\left\{ \frac{1}{2^{n}};n\in\mathbb{N}_{0}\right\} \\ \frac{1}{2-x} & x\in\left\{ \frac{n}{n+1};n\in\mathbb{N}_{0}\right\} \end{cases} \] とすれば全単射になる。

(8)

\(f:\left[0,1\right]\rightarrow\left(0,1\right)\)として\(0\)を\(\frac{1}{2}\)に写し、\(\frac{1}{2^{1}},\frac{1}{2^{3}},\frac{1}{2^{5}},\cdots,\frac{1}{2^{n}},\cdots\)を\(\frac{1}{2^{3}},\frac{1}{2^{5}},\frac{1}{2^{7}},\cdots,\frac{1}{2^{n+2}},\cdots\)に写し、\(\frac{1}{2^{2}},\frac{1}{2^{4}},\frac{1}{2^{6}},\cdots,\frac{1}{2^{n}},\cdots\)を\(\frac{1}{2^{4}},\frac{1}{2^{6}},\frac{1}{2^{8}},\cdots,\frac{1}{2^{n+2}},\cdots\)に写し、それ以外は自分自身に写せばいい。
すなわち、\(0\)を\(\frac{1}{2}\)に写し\(\frac{1}{2^{0}},\frac{1}{2^{1}},\cdots,\frac{1}{2^{n}},\cdots\)を\(\frac{1}{2^{2}},\frac{1}{2^{3}},\cdots,\frac{1}{2^{n+2}},\cdots\)に写せばいので、
\[ f\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{2} & x=0\\ \frac{x}{2^{2}} & x\in\left\{ \frac{1}{2^{n}};n\in\mathbb{N}_{0}\right\} \\ x & x\notin\left\{ 0\right\} \cup\left\{ \frac{1}{2^{n}};n\in\mathbb{N}_{0}\right\} \end{cases} \] とすれば全単射になる。