(1)

同値関係は反射律を満たすので\(a\sim a\)となる。
これより、\(a\in\left\{ x\in X;a\sim x\right\} \)となるので \(a\in C\left(a\right)\)となる。

(2)

\(a,b\in C\left(c\right)\)なので\(a\sim c\land b\sim c\)となり、対称律・推移律より、\(a\sim c\land b\sim c\)\(\Leftrightarrow a\sim c\land c\sim b\)\(\Leftrightarrow a\sim b\)となるので題意は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

\(a\sim b\)のとき、\(C\left(a\right)=\left\{ x\in X;a\sim x\right\} =\left\{ x\in X;a\sim x\land a\sim b\right\} =\left\{ x\in X;b\sim x\right\} =C\left(b\right)\)となるので\(a\sim b\Rightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right)\)となる。

\(\Leftarrow\)

\(C\left(a\right)=C\left(b\right)\)のとき、\(a\in C\left(a\right),b\in C\left(b\right)\)となるが、\(C\left(a\right)=C\left(b\right)\)なので\(a,b\in C\left(a\right)\)とならなければいけないので\(b\in C\left(a\right)\)となる。
これより、\(b\in\left\{ x\in X;a\sim x\right\} \)なので\(a\sim b\)となる。

-

故に\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立ち\(a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right)\)となる。

(4)

\(\Rightarrow\)

\(a\sim b\)のとき、\(C\left(a\right)=C\left(b\right)\)となるので\(C\left(a\right)\cap C\left(b\right)=C\left(a\right)\cap C\left(a\right)=C\left(a\right)\ne\emptyset\)となる。

\(\Leftarrow\)

\(C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset\)のとき、\(c\in C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\)となる元が存在し、\(c\in C\left(a\right)\land c\in C\left(b\right)\)となる。
これより、\(c\in C\left(a\right)\land c\in C\left(b\right)\Rightarrow a\sim c\land b\sim c\Leftrightarrow a\sim c\land c\sim b\Rightarrow a\sim b\)となる。

-

故に\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立ち\(a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset\)となる。

(5)

(3),(4)より、\(\forall a,b\in X,C\left(a\right)=C\left(b\right)\Leftrightarrow a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset\)となるので、\(\forall a,b\in X,C\left(a\right)\ne C\left(b\right)\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)=\emptyset\)となる。