同値類の性質

by nomura · 2023年8月28日

同値類の性質
集合$X$上に同値関係$\sim$が与えられていて、同値関係$\sim$による$a\in X$の同値類を$C\left(a\right)$、すなわち
\[ C\left(a\right)=\left\{ x\in X;a\in X,a\sim x\right\} \] とすると次が成り立つ。

(1)

\[ \forall a\in X,a\in C\left(a\right) \]

(2)

\[ \forall a,b,c\in X;a,b\in C\left(c\right)\Rightarrow a\sim b \]

(3)

\[ \forall a,b\in X,a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right) \]

(4)

\[ \forall a,b\in X,a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset \]

(5)

\[ \forall a,b\in X,C\left(a\right)\ne C\left(b\right)\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)=\emptyset \]

(1)

同値関係は反射律を満たすので$a\sim a$となる。
これより、$a\in\left\{ x\in X;a\sim x\right\} $となるので $a\in C\left(a\right)$となる。

(2)

$a,b\in C\left(c\right)$なので$a\sim c\land b\sim c$となり、対称律・推移律より、$a\sim c\land b\sim c$$\Leftrightarrow a\sim c\land c\sim b$$\Leftrightarrow a\sim b$となるので題意は成り立つ。

(3)

$\Rightarrow$

$a\sim b$のとき、$C\left(a\right)=\left\{ x\in X;a\sim x\right\} =\left\{ x\in X;a\sim x\land a\sim b\right\} =\left\{ x\in X;b\sim x\right\} =C\left(b\right)$となるので$a\sim b\Rightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right)$となる。

$\Leftarrow$

$C\left(a\right)=C\left(b\right)$のとき、$a\in C\left(a\right),b\in C\left(b\right)$となるが、$C\left(a\right)=C\left(b\right)$なので$a,b\in C\left(a\right)$とならなければいけないので$b\in C\left(a\right)$となる。
これより、$b\in\left\{ x\in X;a\sim x\right\} $なので$a\sim b$となる。

-

故に$\Rightarrow$も$\Leftarrow$も成り立つので、$\Leftrightarrow$が成り立ち$a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right)$となる。

(4)

$\Rightarrow$

$a\sim b$のとき、$C\left(a\right)=C\left(b\right)$となるので$C\left(a\right)\cap C\left(b\right)=C\left(a\right)\cap C\left(a\right)=C\left(a\right)\ne\emptyset$となる。

$\Leftarrow$

$C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset$のとき、$c\in C\left(a\right)\cap C\left(b\right)$となる元が存在し、$c\in C\left(a\right)\land c\in C\left(b\right)$となる。
これより、$c\in C\left(a\right)\land c\in C\left(b\right)\Rightarrow a\sim c\land b\sim c\Leftrightarrow a\sim c\land c\sim b\Rightarrow a\sim b$となる。

-

故に$\Rightarrow$も$\Leftarrow$も成り立つので、$\Leftrightarrow$が成り立ち$a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset$となる。

(5)

(3),(4)より、$\forall a,b\in X,C\left(a\right)=C\left(b\right)\Leftrightarrow a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset$となるので、$\forall a,b\in X,C\left(a\right)\ne C\left(b\right)\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)=\emptyset$となる。