順序を反映する写像(順序単射)ならば単射

\(\Rightarrow\)

\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)を順序集合として、\(f:X\rightarrow Y\)を写像とする。
順序集合は反射律が成り立つので反対称律の逆\(f\left(a\right)=f\left(b\right)\Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)\land f\left(b\right)\preceq_{Y}f\left(a\right)\)が成り立つ。
従って、任意の\(a,b\in X\)に対し、
\begin{align*} f\left(a\right)=f\left(b\right) & \Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)\land f\left(b\right)\preceq_{Y}f\left(a\right)\\ & \Rightarrow a\preceq_{X}b\land b\preceq_{X}a\\ & \Leftrightarrow a=b \end{align*} となるので単射となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)を順序集合として、\(X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \right\} ,\preceq_{X}\Leftrightarrow\subseteq,Y=\left\{ 1,2\right\} ,\preceq_{Y}\Leftrightarrow\leq\)とする。
写像\(f:X\rightarrow Y,f\left(\left\{ a\right\} \right)=1,f\left(\left\{ b\right\} \right)=2\)とすると単射となる。
しかし、\(\top\Leftrightarrow1\leq2\Leftrightarrow f\left(\left\{ a\right\} \right)\preceq_{Y}f\left(\left\{ b\right\} \right)\Rightarrow\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ b\right\} \Leftrightarrow\bot\)は偽となり順序を反映する写像ではない。
故に逆は一般的に成り立たない。