同次連立1次方程式の定義と性質
\[
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]
カテゴリー: 数学
連立1次方程式と拡大係数行列の定義と性質
\[
\left(A,\boldsymbol{b}\right)=\left(\begin{array}{cccc|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_{2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_{m}
\end{array}\right)
\]
(*)階数の性質
\[
\rank\left(AB\right)\leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right)
\]
行列の簡約化と階数(ランク)の定義
\[
\rank\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=2
\]
主成分・階段行列・簡約行列の定義
\[
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]
クラメルの公式
\[
x_{i}=\frac{\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)}{\det\left(A\right)}
\]
行基本変形・列基本変形と基本行列
\[
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
e & f & g & h\\
i & j & k & l
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
i & j & k & l\\
e & f & g & h
\end{array}\right)
\]
余因子行列の性質
\[
\adj\left(AB\right)=\adj\left(B\right)\adj\left(A\right)
\]
行列式の性質
\[
\det\left(AB\right)=\det\left(A\right)\det\left(B\right)
\]
行列式の基本性質
\[
\det\left(\boldsymbol{a}_{\sigma\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\sigma\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\sigma\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\sigma\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)
\]
余因子展開と逆行列
\[
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\adj A
\]
行列式・余因子行列・トレースの定義
\[
\det A=\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)a_{1,\sigma\left(1\right)}a_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots a_{n,\sigma\left(n\right)}
\]
置換行列の性質
\[
P_{\tau}P_{\sigma}=P_{\tau\circ\sigma}
\]
置換行列の定義
\[
\left(P_{\sigma}\right)_{i,j}=\delta_{j,\sigma\left(i\right)}
\]
vec作用素の性質
\[
\mathrm{vec}\left(ABC\right)=\left(C^{T}\otimes A\right)\mathrm{vec}\left(B\right)
\]
アダマール積の性質
\[
A\odot B=B\odot A
\]
クロネッカー積の性質
\[
\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right)=\left(AC\right)\otimes\left(BD\right)
\]
行列の性質
一般的に$AB=BA$は成り立たない。
行列の相似・同値と相似変換の定義
\[
B=P^{-1}AP
\]
行列の指数関数の定義
\[
\exp\left(A\right)=\sum_{k-0}^{\infty}\frac{A^{k}}{k!}
\]
色々な行列の定義
\[
M_{n}\left(K\right)
\]
行列の和とスカラー倍と積・クロネッカー積・アダマール積・vec作用素の定義
\[
\left(AB\right)_{i,j}=\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{i,k}\left(B\right)_{k,j}
\]
行列の定義
\[
A=\left(a_{i,j}\right)
\]
間違えずに極限を求められるかな
\[
\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{1-e^{-x}}{x^{2}}\right)=?
\]
ガウス積分のような定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+e^{x^{2}}}dx=?
\]
[2016年早稲田大学商学部・数学第1問]3角関数の総和
\[
\left(\sum_{k=1}^{2016}k\sin\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2016}\right)\sin\frac{\pi}{2016}=?
\]
多重対数関数同士の積の積分
\[
\int\Li_{0}\left(z\right)\Li_{0}\left(z\right)dz=\frac{1}{1-z}+z-2\Li_{1}\left(z\right)+C
\]
逆数の多重対数関数
\[
\Li_{n}\left(\frac{1}{z}\right)=\left(-1\right)^{n+1}\Li_{n}\left(z\right)+\left(1+\left(-1\right)^{n}\right)\zeta\left(n\right)+\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-3}{2}\right\rfloor }\left\{ 2\zeta\left(2\left(k+1\right)\right)\frac{\Log^{n-2\left(k+1\right)}z}{\left(n-2\left(k+1\right)\right)!}\right\} +\left(-1\right)^{n+1}\frac{\Log^{n}z}{n!}+\left(-1\right)^{n+1}\frac{\Log^{n-1}z}{\left(n-1\right)!}\left(\Log\left(1-z\right)-\Log\left(z-1\right)\right)
\]
多重対数関数の関係
\[
\Li_{n}\left(z\right)+\Li_{n}\left(-z\right)=\frac{1}{2^{n-1}}\Li_{n}\left(z^{2}\right)
\]