直交直和分解定理
直交直和分解定理
\(K\)上の内積空間\(\left(K^{n},\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)があり、\(X_{1}\subseteq W\)となる部分空間\(W,X_{1}\subseteq K^{n}\)がある。
このとき、ある部分空間\(X_{2}\subseteq W\)が唯1つ存在し、直交直和
\[ W=X_{1}\oplus X_{2} \] で表される。
\(K\)上の内積空間\(\left(K^{n},\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)があり、\(X_{1}\subseteq W\)となる部分空間\(W,X_{1}\subseteq K^{n}\)がある。
このとき、ある部分空間\(X_{2}\subseteq W\)が唯1つ存在し、直交直和
\[ W=X_{1}\oplus X_{2} \] で表される。
直和分解では\(W,X_{1}\subseteq K^{n}\)があり、ある部分空間\(X_{2}\subseteq W\)が存在し、
\[ W=X_{1}\oplus X_{2} \] となっても\(X_{2}\)の選び方は一意的ではない。
例えば、\(\mathbb{R}^{2}\)に標準内積を入れた内積空間\(\left(\mathbb{R}^{2},\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)で\(X_{1}=\left\{ \left(x,0\right);x\in\mathbb{R}\right\} \)とすると、\(X_{2}=\left\{ \left(0,y\right);y\in\mathbb{R}\right\} ,X_{2}'=\left\{ \left(y',y'\right);y'\in\mathbb{R}\right\} \)とすると、\(X_{1}\oplus X_{2}=\mathbb{R}^{2}=X_{1}\oplus X_{2}'\)となる。
このとき、任意の\(\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}\)に対し、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} x\\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0\\ y \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} x-y\\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} y\\ y \end{array}\right) \end{align*} となるので、\(X_{1}\oplus X_{2}\)でも\(X_{1}\oplus X_{2}'\)でも表すことができるので一意的ではない。
また、\(W=X_{1}\oplus X_{2}\)と部分空間\(X_{1},X_{2}\)を決めてしまえば\(W\)の元に対する\(X_{1}\)の元と\(X_{2}\)の元は一意的に決まる。
\[ W=X_{1}\oplus X_{2} \] となっても\(X_{2}\)の選び方は一意的ではない。
例えば、\(\mathbb{R}^{2}\)に標準内積を入れた内積空間\(\left(\mathbb{R}^{2},\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)で\(X_{1}=\left\{ \left(x,0\right);x\in\mathbb{R}\right\} \)とすると、\(X_{2}=\left\{ \left(0,y\right);y\in\mathbb{R}\right\} ,X_{2}'=\left\{ \left(y',y'\right);y'\in\mathbb{R}\right\} \)とすると、\(X_{1}\oplus X_{2}=\mathbb{R}^{2}=X_{1}\oplus X_{2}'\)となる。
このとき、任意の\(\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}\)に対し、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} x\\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0\\ y \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} x-y\\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} y\\ y \end{array}\right) \end{align*} となるので、\(X_{1}\oplus X_{2}\)でも\(X_{1}\oplus X_{2}'\)でも表すことができるので一意的ではない。
また、\(W=X_{1}\oplus X_{2}\)と部分空間\(X_{1},X_{2}\)を決めてしまえば\(W\)の元に対する\(X_{1}\)の元と\(X_{2}\)の元は一意的に決まる。
部分空間の存在
\(W=X_{1}\oplus X_{2}\)となる部分空間\(X_{2}\subseteq W\)が存在することを示す。\(X_{1}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)のときは、\(X_{2}=W\)として、\(X_{1}=W\)のときは、\(X_{2}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とすればいいので、\(\dim X_{1}=r\)として、\(0<r<\dim W\)とする。
このとき、\(X_{1}\)の正規直交基底\(\left\{ \boldsymbol{a}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\)がとれて、あるベクトル\(\left\{ \boldsymbol{a}_{k}\right\} _{k\in\left\{ r+1,r+2,\cdots,\dim W\right\} }\in W\)が存在し、\(\left\{ \boldsymbol{a}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,\dim W\right\} }\)が正規直交基底になるようにとれる。
ここで、
\[ X_{2}=\left\langle \boldsymbol{a}_{r+1},a_{r+2},\cdots,\boldsymbol{a}_{\dim W}\right\rangle \] とすれば\(X_{1}\perp X_{2}\)であり、任意の\(\boldsymbol{x}\in W\)に対し、
\begin{align*} \boldsymbol{x} & =\sum_{k=1}^{\dim W}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{r}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k}+\sum_{k=r+1}^{\dim W}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k} \end{align*} となるので、
\[ \sum_{k=1}^{r}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k}\in X_{1} \] \[ \sum_{k=r+1}^{\dim W}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \boldsymbol{a}_{k}\in X_{2} \] となる。
従って、\(W=X_{1}\oplus X_{2}\)となり、\(W=X_{1}\oplus X_{2}\)となる部分空間\(X_{2}\subseteq W\)が存在する。
一意性
部分空間\(X_{2}'\subseteq W\)が\(W=X_{1}\oplus X_{2}'\)を満たすと仮定する。このとき、\(X_{1}\oplus X_{2}=W=X_{1}\oplus X_{2}'\)となり、任意の\(\boldsymbol{x}_{1}\in X_{1},\boldsymbol{x}_{2}\in X_{2}\)に対しある\(\boldsymbol{x}_{2}\in X_{2}\)が存在し、\(\boldsymbol{x}_{2}=\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}'\)を満たす。
ここで、\(\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}'\right\rangle =0\)であるので、\(\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{1}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}-\boldsymbol{x}_{2}'\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}'\right\rangle =0-0=0\)となるので、\(\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{0}\)となり、\(\boldsymbol{x}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}'\)となる。
これより、任意の\(\boldsymbol{x}_{2}\in X_{2}\)に対して\(\boldsymbol{x}_{2}=\boldsymbol{x}_{2}'\in X_{2}'\)となるので、\(X_{2}\subseteq X_{2}'\)となる。
同様に\(X_{2}'\subseteq X_{2}\)も成り立ち、\(X_{2}=X_{2}'\)となるので一意性が示される。
ページ情報
| タイトル | 直交直和分解定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ek53iua6/ |
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ユニタリ変換の定義と性質
\[
\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle
\]