(1)

\(\Rightarrow\)

\(A=B\)であるとき、\(A\boldsymbol{x}=B\boldsymbol{x}\)は明らかに成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(A\boldsymbol{x}=B\boldsymbol{x}\)のとき、\(\boldsymbol{0}=\left(A-B\right)\boldsymbol{x}\)となるので、
\begin{align*} \left(\boldsymbol{0}\right)_{i} & =\left(\left(A-B\right)\boldsymbol{x}\right)_{i}\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(A-B\right)_{i,j}\left(\boldsymbol{x}\right)_{j} \end{align*} となるので、
\[ 0=\sum_{j=1}^{n}\left(A-B\right)_{i,j}\left(\boldsymbol{x}\right)_{j} \] となり、これが任意の\(\boldsymbol{x}\)に対し成り立つには、\(\left(\boldsymbol{x}\right)_{j}\)の係数が0でないといけないので、\(A-B=O\)となるので、\(A=B\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)

\(A=B\)であるとき、\(AC=BC\)は明らかに成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(AC=BC\)のとき、\(O=\left(A-B\right)C\)となり、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in K^{l}\)に対し、\(\boldsymbol{0}=O\boldsymbol{x}=\left(\left(A-B\right)C\right)\boldsymbol{x}\)となるので、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(\left(A-B\right)C\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(A-B\right)\left(C\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、任意の\(C,\boldsymbol{x}\)に対し成り立っているので、\(C=I\)とおくと、\(\boldsymbol{0}=\left(A-B\right)\boldsymbol{x}\)となり、これが任意の\(\boldsymbol{x}\)に対し成り立つには、\(\left(\boldsymbol{x}\right)_{j}\)の係数が\(O\)でないといけないので、\(A-B=O\)となるので、\(A=B\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

\[ \left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{y}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}\right\rangle \] より、
\begin{align*} 0 & =\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{y}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となるので、\(\boldsymbol{y}\)は任意なので\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2}\)とすると、
\begin{align*} 0 & =\left\langle \boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle \\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2}\right\Vert ^{2} \end{align*} となるので、\(\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2}=\boldsymbol{0}\)となり移項すると、\(\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{x}_{2}\)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{x}_{2}\)であるとき、\(\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{y}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x}_{2},\boldsymbol{y}\right\rangle \)が成り立つので\(\Leftarrow\)成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(4)

\(\Rightarrow\)

\(A=O\)であるとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)について、\(\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle O\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

任意の\(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}\)について、\(\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)となるとき、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^{n}\)と任意の\(k\in\left\{ 0,1,2,3\right\} \)について\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}i^{k}\in\mathbb{C}^{n}\)なので、
\begin{align*} 0 & =\sum_{k=0}^{3}i^{k}\left\langle A\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}i^{k}\right),\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}i^{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=0}^{3}i^{k}\left\langle A\boldsymbol{x}+i^{k}A\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}i^{k}\right\rangle \\ & =\sum_{k=0}^{3}i^{k}\left(\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left(-i\right)^{k}\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +i^{k}\left\langle A\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle +i^{k}\left(-i\right)^{k}\left\langle A\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)\\ & =\sum_{k=0}^{3}i^{k}\left(\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left(-i\right)^{k}\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +i^{k}\left\langle A\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle A\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)\\ & =\sum_{k=0}^{3}\left(i^{k}\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left(-1\right)^{k}\left\langle A\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle +i^{k}\left\langle A\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)\\ & =\sum_{k=0}^{3}\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =4\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となる。
これより、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{C}^{n}\)について\(\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =0\)となるので、\(\boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x}\)とおくと、\(0=\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\left\langle A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\)となるので、\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)となり、これが任意の\(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}\)について成り立つので\(A=O\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

実数では一般的に\(\Leftarrow\)が成り立たない

\(\mathbb{C}\)上での\(\Leftarrow\)の証明を\(\mathbb{R}\)上で考えると\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^{n}\)では\(k\in\left\{ 1,3\right\} \)のとき\(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}i^{k}\notin\mathbb{R}^{n}\)なので\(\mathbb{R}\)上では使えなく、また\(\mathbb{R}\)上では一般的に成り立たない。
反例で示す。
2次元実ユークリッド平面で\(A\)として回転行列
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right) \] をとり\(a,b\in\mathbb{R}\)として\(\boldsymbol{x}=\left(a,b\right)^{T}\)とすると
\begin{align*} \left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left(A\boldsymbol{x}\right)^{T}\overline{\boldsymbol{x}}\\ & =\left(\left(\begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)\right)^{T}\overline{\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)}\\ & =\left(\begin{array}{c} -b\\ a \end{array}\right)^{T}\left(\begin{array}{c} \overline{a}\\ \overline{b} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} -b & a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)\\ & =-ab+ab\\ & =0 \end{align*} が成り立つ。
これより、\(A\ne O\)であるが、\(\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\)が成り立つ。
従って、一般的に実数では\(\Leftarrow\)が成り立たない。