(1)

\(f\left(\boldsymbol{x}\right)\)は実数となることの証明。
\begin{align*} \overline{f\left(\boldsymbol{x}\right)} & =\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)\right)^{*}\\ & =\left(\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}\right)^{*}\\ & =\boldsymbol{x}^{*}A^{*}\boldsymbol{x}\\ & =\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}\\ & =f\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、\(f\left(\boldsymbol{x}\right)\)は実数である。

-

\(f\left(\boldsymbol{x}\right)=\left\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle \)となることの証明。
\begin{align*} f\left(\boldsymbol{x}\right) & =\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}\\ & =\overline{\boldsymbol{x}^{T}\overline{A\boldsymbol{x}}}\\ & =\overline{\left\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle }\\ & =\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \cmt{\because\left\langle a,b\right\rangle =\overline{\left\langle b,a\right\rangle }}\\ & =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*}

(2)

\begin{align*} f\left(\boldsymbol{x}\right) & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}c_{i,j}x_{i}x_{j}\\ & =\sum_{i=j}^{n}c_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{i<j}^{n}c_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{i>j}^{n}c_{i,j}x_{i}x_{j}\\ & =\sum_{i=j}c_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{i<j}c_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{j>i}c_{j,i}x_{j}x_{i}\\ & =\sum_{i=j}c_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{i<j}c_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{i<j}c_{j,i}x_{i}x_{j}\\ & =\sum_{i=j}c_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{i<j}\left(c_{i,j}+c_{j,i}\right)x_{i}x_{j}\\ & =\frac{1}{2}\sum_{i=j}\left(c_{i,j}+c_{j,i}\right)x_{i}x_{j}+\frac{1}{2}\sum_{i\ne j}\left(c_{i,j}+c_{j,i}\right)x_{i}x_{j}\\ & =\frac{1}{2}\sum_{i,j}\left(c_{i,j}+c_{j,i}\right)x_{i}x_{j}\\ & =\sum_{i,j}\left(A\right)_{i,j}x_{i}x_{j}\\ & =\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} \end{align*} となる。
途中で
\[ \left(A\right)_{i,j}=\frac{1}{2}\left(c_{i,j}+c_{j,i}\right) \] とおいた。

(3)

\(A\)はエルミート行列なので正規行列であり、正規行列なのでユニタリ行列\(U\)により対角化が可能である。
これより、
\[ U^{*}AU=\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right) \] とできるので、
\begin{align*} f\left(\boldsymbol{x}\right) & =\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}\\ & =\boldsymbol{x}^{*}UU^{-1}AUU^{-1}\boldsymbol{x}\\ & =\boldsymbol{x}^{*}UU^{*}AUU^{*}\boldsymbol{x}\\ & =\left(U^{*}\boldsymbol{x}\right)^{*}\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)U^{*}\boldsymbol{x}\\ & =\boldsymbol{y}^{*}\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)\boldsymbol{y} \end{align*} となる。
最後で\(\boldsymbol{y}=U^{*}\boldsymbol{x}\)と変数変換した。
従って題意は成り立つ。

(4)

\[ f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{y}^{*}\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)\boldsymbol{y} \] とできるので、固有ベクトルの順番を入れ替えて固有値が正の固有ベクトル\(p\)個を最初にもってきて、その次に固有値が負の固有ベクトル\(q\)個をもってきて、その次に固有値が0の固有ベクトル\(n-p-q\)個をもってくる。
そうして、
\[ z_{k}=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{\left|\lambda_{k}\right|}}y_{k} & k\in\left\{ 1,2,\cdots,p+q\right\} \\ y_{k} & k\in\left\{ p+q+1,p+q+2,\cdots,n\right\} \end{cases} \] と変数変換をすると、
\begin{align*} f\left(\boldsymbol{x}\right) & =\boldsymbol{y}^{*}\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)\boldsymbol{y}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\left|y_{k}\right|^{2}\\ & =\sum_{k=1}^{p}\lambda_{k}\left|y_{k}\right|^{2}+\sum_{k=p+1}^{p+q}\lambda_{k}\left|y_{k}\right|^{2}+\sum_{k=p+q+1}^{n}\lambda_{k}\left|y_{k}\right|^{2}\\ & =\sum_{k=1}^{p}\left|z_{k}\right|^{2}-\sum_{k=p+1}^{p+q}\left|z_{k}\right|^{2}\\ & =\sum_{k=1}^{p}\left|z_{k}\right|^{2}-\sum_{k=1}^{q}\left|z_{p+k}\right|^{2} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(5)

ラグランジュの未定乗数法を使うために、
\[ g\left(x\right)=\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}-\mu\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle -1\right) \] とおく。
\(A\)はユニタリ行列\(U\)で対角化ができ、\(\boldsymbol{y}=U^{*}\boldsymbol{x}\)と変数変換すると、
\begin{align*} g\left(\boldsymbol{x}\right) & =\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}-\mu\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle -1\right)\\ & =\left(U\boldsymbol{x}\right)^{*}U^{*}AU\left(U^{*}\boldsymbol{x}\right)-\mu\left(\left\langle U^{*}\boldsymbol{x},U^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle -1\right)\\ & =\boldsymbol{y}^{*}\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)\boldsymbol{y}-\mu\left(\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle -1\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\left|y_{k}\right|^{2}-\mu\left(\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}\right|^{2}-1\right) \end{align*} となり、ラグランジュの未定乗数法より、
\begin{align*} 0 & =\frac{\partial g\left(\boldsymbol{y}\right)}{\partial\mu}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}\right|^{2}-1 \end{align*} \begin{align*} 0 & =\frac{\partial g\left(\boldsymbol{y}\right)}{\partial y_{j}}\\ & =2\lambda_{j}\left|y_{j}\right|-2\mu\left|y_{j}\right|\\ & =2\left(\lambda_{j}-\mu\right)\left|y_{j}\right| \end{align*} となる。
これより、\(g\left(\boldsymbol{x}\right)\)が極値となる候補は、
\begin{align*} g\left(\boldsymbol{x}\right) & =\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\left|y_{k}\right|^{2}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\mu\left|y_{k}\right|^{2}\\ & =\mu\\ & =\lambda_{i} \end{align*} となる。
従って最大値は\(\lambda_{i}\)の最大値で最小値は\(\lambda_{i}\)の最小値なので題意は成り立つ。

(6)

\(\boldsymbol{x}^{*}\)は\(1\times n\)行列、\(A\boldsymbol{x}\)は\(n\times1\)行列なので、
\begin{align*} \boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x} & =\tr\left(\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}\right)\\ & =\tr\left(A\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{*}\right) \end{align*} となり与式は成り立つ。

(6)-2

\begin{align*} \boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x} & =\sum_{i,j}\overline{x_{i}}\left(A\right)_{i,j}x_{j}\\ & =\sum_{i}\sum_{j}\left(A\right)_{i,j}x_{j}\overline{x_{i}}\\ & =\sum_{i}\left(A\boldsymbol{x}\overline{\boldsymbol{x}}^{T}\right)_{i,i}\\ & =\sum_{i}\left(A\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{*}\right)_{i,i}\\ & =\tr\left(A\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}^{*}\right) \end{align*}