バナッハ空間の閉部分空間はバナッハ空間

バナッハ空間\(V\)の部分空間\(B\subseteq V\)はバナッハ空間になるとは限りません。
反例で示す。
\(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=0\)となる連続関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)全体を\(C_{0}\left(\mathbb{R}\right)\)で表すとする。
このとき、\(f\in C_{0}\left(\mathbb{R}\right)\)はノルムを\(\left\Vert f\right\Vert =\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f\left(x\right)\right|\)とするとバナッハ空間となる。
ここで、\(\left\{ x\in\mathbb{R};f\left(x\right)\ne0\right\} \)が有界となる連続関数全体を\(C_{c}\left(\mathbb{R}\right)\)とすると、\(C_{c}\left(\mathbb{R}\right)\)は部分空間\(C_{c}\left(\mathbb{R}\right)\subseteq C_{0}\left(\mathbb{R}\right)\)であり\(C_{0}\left(\mathbb{R}\right)\)と同じノルムを定めると\(C_{c}\left(\mathbb{R}\right)\)は部分ノルム空間となる。
\(f\left(x\right)=e^{-x^{2}}\)として、\(g_{n}\left(x\right)\)を
\[ g_{n}\left(x\right)=\begin{cases} 0 & x<-n+1\\ x+n+1 & -n-1\leq x<-n\\ 1 & -n\leq x<n\\ -x+n+1 & n\leq x<n+1\\ 0 & n+1\leq x \end{cases} \] として、\(f_{n}\left(x\right)=f\left(x\right)g_{n}\left(x\right)\)と定めると、\(\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq C_{c}\left(\mathbb{R}\right)\)となり、\(\left\Vert f_{m}-f_{n}\right\Vert =\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|=\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|f_{\max\left(m,n\right)}\left(x\right)-f_{\min\left(m,n\right)}\left(x\right)\right|\leq f_{\min\left(m,n\right)}\left(\min\left(m,n\right)\right)=e^{-\left(\min\left(m,n\right)\right)^{2}}\)となるのでコーシー列となる。
また、\(\lim_{m\rightarrow\infty}\left\Vert f_{m}-f\right\Vert =\lim_{m,n\rightarrow\infty}\left\Vert f_{m}-f_{n}\right\Vert \leq\lim_{m,n\rightarrow\infty}e^{-\left(\min\left(m,n\right)\right)^{2}}=0\)となるので、\(\lim_{m\rightarrow\infty}\left\Vert f_{m}\right\Vert =f\)となるが、\(f\in C_{0}\left(\mathbb{R}\right)\setminus C_{c}\left(\mathbb{R}\right)\)であり、\(f\notin C_{c}\left(\mathbb{R}\right)\)であるので\(C_{c}\left(\mathbb{R}\right)\)は完備ではない。
従って、部分空間\(C_{c}\left(\mathbb{R}\right)\)は完備ではないのでバナッハ空間でない。
故にバナッハ空間の部分空間はバナッハ空間になるとは限らない。