オイラーのトーシェント関数の性質
\[\phi(p^{n})=p^{n}-p^{n-1}\]
オイラーのトーシェント関数の定義
\[\phi\left(n\right)=\left|\left\{ k\in\mathbb{N};1\leq k\leq n,\gcd\left(k,n\right)=1\right\} \right|\]
位数と原始根の定義
\[a^{n}\overset{p}{\equiv}1\]
平方剰余の定義
\[QR(a,p)\]
2元1次不定方程式の整数解とユークリッドの互除法
\[ax+by=c\]
二元不定方程式が整数解を持つ
\[ax+by=c\text{が整数解を持つ}\Leftrightarrow c\text{は}\gcd(a,b)\text{の倍数}\]
二元不定方程式
\[ax+by=c\]
2元1次不定方程式の性質
\[ax+by=c\text{が整数解を持つ}\Leftrightarrow c\text{は}\gcd(a,b)\text{の倍数}\]
整数論の基本定理
\[ax+by=1\text{が整数解を持つ}\Leftrightarrow a\text{と}b\text{は互いに素}\]
完全剰余系の基本定理
\[1a,2a,3a,\cdots\cdots,na\]
ユークリッドの互除法
\[\gcd(a,b)=\gcd(b,r)\]
中心極限定理
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1)\]
大数の法則
\[\lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0\]
チェビシェフの不等式
\[P(\left|X-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{V(X)}{\epsilon^{2}}\]
マルコフの不等式
\[P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{E\left(\left|X\right|\right)}{\epsilon}\]
相関係数の基本的性質
\[\rho(X,aY+b)=\rho(X,Y)\]
独立と無相関の関係
\[\text{独立}\Rightarrow\text{無相関}\]
無相関のときに成り立つ関係
\[E(XY)=E(X)E(Y)\]
独立と無相関の定義
\[P\left(X=x,Y=y\right)=P(X=x)P(Y=y)\]
共分散の基本的性質
\[Cov(X,aY)=aCov(X,Y)\]
分散の基本的性質
\[V\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum_{i,j}a_{i}a_{j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)\]
共分散公式と分散公式
\[Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\]
期待値の基本的性質
\[E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)\]
期待値・分散・共分散などの定義
\[E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xP(x)dx\]
2重根号
\[\sqrt{a\pm|b|\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\right)\]
(*)log(1-x)のn乗の展開
\[\log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n}\]