平方剰余の定義
平方剰余
整数\(a,p\)が互いに素であるとする。
\[ x^{2}\overset{p}{\equiv}a \]
が解\(x\)を持つとき、\(a\)は\(p\)を法として平方剰余であるという。
解\(x\)が存在しないとき平方非剰余という。
\[ QR(a,p)=\begin{cases} 1 & a\not\equiv0\land\exists x,x^{2}\overset{p}{\equiv}a\\ -1 & \forall x,x^{2}\overset{p}{\not\equiv}a\\ 0 & a\overset{p}{\equiv}0 \end{cases} \]
ページ情報
タイトル | 平方剰余の定義 |
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(*)オイラーのトーシェント関数の性質
\[
\varphi(p^{n})=p^{n}-p^{n-1}
\]
n番目の素数の式
\[
P\left(n\right)=1+\sum_{k=1}^{2^{n}}\left\lfloor \sqrt[n]{\frac{n}{\sum_{j=1}^{k}\left\lfloor \cos^{2}\left(\frac{\left(j-1\right)!+1}{j}\pi\right)\right\rfloor }}\right\rfloor
\]
2元1次不定方程式の性質
\[
ax+by=c\text{が整数解を持つ}\Leftrightarrow c\text{は}\gcd(a,b)\text{の倍数}
\]
ユークリッドの互除法
\[
\gcd(a,b)=\gcd(b,r)
\]