チェビシェフの不等式
チェビシェフの不等式
任意の正の数\(\epsilon\)に対し、
\[ P(\left|X-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{V(X)}{\epsilon^{2}} \] が成り立つ。
任意の正の数\(\epsilon\)に対し、
\[ P(\left|X-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{V(X)}{\epsilon^{2}} \] が成り立つ。
(0)
マルコフの不等式\[ P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{E\left(\left|X\right|\right)}{\epsilon} \] で\(\epsilon\rightarrow\epsilon^{2}\quad,\quad X\rightarrow\left(X-\mu\right)^{2}\)とすると、
\begin{align*} P\left(\left(X-\mu\right)^{2}\geq\epsilon^{2}\right) & =P\left(\left|X-\mu\right|\geq\epsilon\right)\\ & \leq\frac{E\left(\left(X-\mu\right)^{2}\right)}{\epsilon^{2}}\\ & =\frac{V(X)}{\epsilon^{2}} \end{align*} これより、
\[ P(\left|X-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{V(X)}{\epsilon^{2}} \]
(0)-2
\begin{align*} V(X) & =\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}P(x)dx\\ & =\int_{-\infty}^{\mu-\epsilon}(x-\mu)^{2}P(x)dx+\int_{\mu-\epsilon}^{\mu+\epsilon}(x-\mu)^{2}P(x)dx+\int_{\mu+\epsilon}^{\infty}(x-\mu)^{2}P(x)dx\qquad,\qquad\forall\epsilon>0\\ & \geq\int_{-\infty}^{\mu-\epsilon}(x-\mu)^{2}P(x)dx+\int_{\mu+\epsilon}^{\infty}(x-\mu)^{2}P(x)dx\\ & \geq\int_{u-\epsilon\geq x}\epsilon^{2}P(x)dx+\int_{\mu+\epsilon\leq x}\epsilon^{2}P(x)dx\\ & =\epsilon^{2}\int_{-x+\mu\geq\epsilon}P(x)dx+\epsilon^{2}\int_{x-\mu\geq\epsilon}P(x)dx\\ & =\epsilon^{2}\int_{\left|x-\mu\right|\geq\epsilon}P(x)dx\\ & =\epsilon^{2}P(\left|X-\mu\right|\geq\epsilon) \end{align*} これより、\[ P(\left|X-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{V(X)}{\epsilon^{2}} \]
ページ情報
タイトル | チェビシェフの不等式 |
URL | https://www.nomuramath.com/p1eiy78p/ |
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マルコフの不等式
\[
P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{E\left(\left|X\right|\right)}{\epsilon}
\]
共分散の基本的性質
\[
Cov(X,aY)=aCov(X,Y)
\]
分散の基本的性質
\[
V\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum_{i,j}a_{i}a_{j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)
\]
大数の法則
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0
\]