中心極限定理
中心極限定理
確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots\cdots,X_{n}\)は独立同分布とし、\(E(X_{i})=\mu\quad,\quad V(X_{i})=\sigma^{2}\)とする。
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1) \] となる。
確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots\cdots,X_{n}\)は独立同分布とし、\(E(X_{i})=\mu\quad,\quad V(X_{i})=\sigma^{2}\)とする。
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1) \] となる。
\[
Y_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)
\]
とおく。
\(Y_{n}\)の特性関数\(\varphi\)は
\begin{align*} \varphi_{Y_{n}}(t) & =E\left(\exp\left(itY_{n}\right)\right)\\ & =E\left(\exp\left(it\sum_{i=1}^{n}\frac{X_{i}-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)\right)\\ & =E\left(\prod_{i=1}^{n}\exp\left(it\frac{X_{i}-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)\right)\\ & =E^{n}\left(\exp\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)\right)\\ & =E^{n}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{k}\right)\\ & =E^{n}\left(1+\frac{1}{1!}\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)+\frac{1}{2!}\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{2}+\cdots\cdots\right)\\ & =\left(E(1)+\frac{1}{1!}\left(\frac{it}{\sqrt{n}\sigma}\right)E\left(X-\mu\right)+\frac{1}{2!}\left(\frac{it}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{2}E\left(\left(X-\mu\right)^{2}\right)+\cdots\cdots\right)^{n}\\ & =\left(1+\frac{1}{2!}\left(\frac{it}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{2}\sigma^{2}+\cdots\cdots\right)^{n}\\ & =\left(1-\frac{t^{2}}{2n}+\cdots\cdots\right)^{n} \end{align*} これより、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_{Y_{n}}(t) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{t^{2}}{2n}+\cdots\cdots\right)^{n}\\ & =e^{-\frac{t^{2}}{2}}\\ & =\varphi_{N(0,1)}(t) \end{align*} となるので、レヴィの連続性定理より、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1) \] となる。
\(Y_{n}\)の特性関数\(\varphi\)は
\begin{align*} \varphi_{Y_{n}}(t) & =E\left(\exp\left(itY_{n}\right)\right)\\ & =E\left(\exp\left(it\sum_{i=1}^{n}\frac{X_{i}-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)\right)\\ & =E\left(\prod_{i=1}^{n}\exp\left(it\frac{X_{i}-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)\right)\\ & =E^{n}\left(\exp\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)\right)\\ & =E^{n}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{k}\right)\\ & =E^{n}\left(1+\frac{1}{1!}\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)+\frac{1}{2!}\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{2}+\cdots\cdots\right)\\ & =\left(E(1)+\frac{1}{1!}\left(\frac{it}{\sqrt{n}\sigma}\right)E\left(X-\mu\right)+\frac{1}{2!}\left(\frac{it}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{2}E\left(\left(X-\mu\right)^{2}\right)+\cdots\cdots\right)^{n}\\ & =\left(1+\frac{1}{2!}\left(\frac{it}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{2}\sigma^{2}+\cdots\cdots\right)^{n}\\ & =\left(1-\frac{t^{2}}{2n}+\cdots\cdots\right)^{n} \end{align*} これより、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_{Y_{n}}(t) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{t^{2}}{2n}+\cdots\cdots\right)^{n}\\ & =e^{-\frac{t^{2}}{2}}\\ & =\varphi_{N(0,1)}(t) \end{align*} となるので、レヴィの連続性定理より、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1) \] となる。
ページ情報
タイトル | 中心極限定理 |
URL | https://www.nomuramath.com/rntx8615/ |
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相加平均・相乗平均・調和平均の大小関係
\[
\text{調和平均}\leq\text{相乗平均}\leq\text{相加平均}
\]
分散の基本的性質
\[
V\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum_{i,j}a_{i}a_{j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)
\]
独立と無相関の定義
\[
P\left(X=x,Y=y\right)=P(X=x)P(Y=y)
\]
相補誤差関数と虚数誤差関数の表示
\[
erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}dt
\]