中心極限定理

\[ Y_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right) \] とおく。
\(Y_{n}\)の特性関数\(\varphi\)は
\begin{align*} \varphi_{Y_{n}}(t) & =E\left(\exp\left(itY_{n}\right)\right)\\ & =E\left(\exp\left(it\sum_{i=1}^{n}\frac{X_{i}-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)\right)\\ & =E\left(\prod_{i=1}^{n}\exp\left(it\frac{X_{i}-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)\right)\\ & =E^{n}\left(\exp\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)\right)\\ & =E^{n}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{k}\right)\\ & =E^{n}\left(1+\frac{1}{1!}\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)+\frac{1}{2!}\left(it\frac{X-\mu}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{2}+\cdots\cdots\right)\\ & =\left(E(1)+\frac{1}{1!}\left(\frac{it}{\sqrt{n}\sigma}\right)E\left(X-\mu\right)+\frac{1}{2!}\left(\frac{it}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{2}E\left(\left(X-\mu\right)^{2}\right)+\cdots\cdots\right)^{n}\\ & =\left(1+\frac{1}{2!}\left(\frac{it}{\sqrt{n}\sigma}\right)^{2}\sigma^{2}+\cdots\cdots\right)^{n}\\ & =\left(1-\frac{t^{2}}{2n}+\cdots\cdots\right)^{n} \end{align*} これより、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_{Y_{n}}(t) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{t^{2}}{2n}+\cdots\cdots\right)^{n}\\ & =e^{-\frac{t^{2}}{2}}\\ & =\varphi_{N(0,1)}(t) \end{align*} となるので、レヴィの連続性定理より、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1) \] となる。