大数の法則
大数の法則
確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots\cdots,X_{n}\)は独立同分布とする。
標本平均を\(Y_{n}\)、母平均を\(\mu\)とする。
すなわち
\[ Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} \]
\[ E(X)=\mu \]
とする。
(1)大数の弱法則
任意の\(\epsilon>0\)に対し、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0 \]
が成り立つ。
(2)大数の強法則
\[ P\left(\lim_{n\rightarrow\infty}Y_{n}=\mu\right)=1 \]
(1)
\begin{align*} E\left(Y_{n}\right) & =E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E\left(X_{i}\right)\\ & =\mu \end{align*}
\begin{align*} V\left(Y_{n}\right) & =V\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)\\ & =\frac{1}{n^{2}}\sum_{i,j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)\\ & =\frac{1}{n^{2}}\sum_{i,j}V(X)\delta_{ij}\\ & =\frac{\sigma^{2}}{n} \end{align*}
となる。
これにチェビシェフの不等式を使うと、
\[ P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{\sigma^{2}}{n\epsilon^{2}} \]
\(n\rightarrow\infty\)の極限を取ると、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0 \]
(2)
略
ページ情報
タイトル | 大数の法則 |
URL | https://www.nomuramath.com/hr5meenr/ |
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