大数の法則

by nomura · 2020年8月25日

大数の法則
確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots\cdots,X_{n}\)は独立同分布とする。
標本平均を\(Y_{n}\)、母平均を\(\mu\)とする。
すなわち
\[ Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} \] \[ E(X)=\mu \] とする。

(1)大数の弱法則

任意の\(\epsilon>0\)に対し、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0 \] が成り立つ。

(2)大数の強法則

\[ P\left(\lim_{n\rightarrow\infty}Y_{n}=\mu\right)=1 \]

(1)

\begin{align*} E\left(Y_{n}\right) & =E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E\left(X_{i}\right)\\ & =\mu \end{align*} \begin{align*} V\left(Y_{n}\right) & =V\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)\\ & =\frac{1}{n^{2}}\sum_{i,j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)\\ & =\frac{1}{n^{2}}\sum_{i,j}V(X)\delta_{ij}\\ & =\frac{\sigma^{2}}{n} \end{align*} となる。
これにチェビシェフの不等式を使うと、
\[ P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{\sigma^{2}}{n\epsilon^{2}} \] \(n\rightarrow\infty\)の極限を取ると、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0 \]