大数の法則

大数の法則
確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots\cdots,X_{n}\)は独立同分布とする。

標本平均を\(Y_{n}\)、母平均を\(\mu\)とする。

すなわち

\[ Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} \]

\[ E(X)=\mu \]

とする。

(1)大数の弱法則

任意の\(\epsilon>0\)に対し、

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0 \]

が成り立つ。

(2)大数の強法則

\[ P\left(\lim_{n\rightarrow\infty}Y_{n}=\mu\right)=1 \]

(1)

\begin{align*} E\left(Y_{n}\right) & =E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E\left(X_{i}\right)\\ & =\mu \end{align*}

\begin{align*} V\left(Y_{n}\right) & =V\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right)\\ & =\frac{1}{n^{2}}\sum_{i,j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)\\ & =\frac{1}{n^{2}}\sum_{i,j}V(X)\delta_{ij}\\ & =\frac{\sigma^{2}}{n} \end{align*}

となる。

これにチェビシェフの不等式を使うと、

\[ P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)\leq\frac{\sigma^{2}}{n\epsilon^{2}} \]

\(n\rightarrow\infty\)の極限を取ると、

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}P(\left|Y_{n}-\mu\right|\geq\epsilon)=0 \]

(2)


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タイトル

大数の法則

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https://www.nomuramath.com/hr5meenr/

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