共分散の基本的性質

by · 2020年8月18日

\(X,Y\)を確率変数、\(a,b\)を定数とする。

(1)

\[ Cov(X,Y)=Cov(Y,X) \]

(2)

\[ Cov(X,Y+a)=Cov(X,Y) \]

(3)

\[ Cov(X,aY)=aCov(X,Y) \]

(1)

\begin{align*} Cov(X,Y) & =E\left(\left(X-E(X)\right)\left(Y-E(Y)\right)\right)\\ & =Cov(Y,X) \end{align*}

(2)

\begin{align*} Cov(X,Y+a) & =E(X(Y+a))-E(X)E(Y+a)\\ & =E(XY)+aE(X)-E(X)E(Y)+aE(X)\\ & =E(XY)-E(X)E(Y)\\ & =Cov(X,Y) \end{align*}

(3)

\begin{align*} Cov(X,aY) & =E(XaY)-E(X)E(aY)\\ & =a\left(E(XY)-E(X)E(Y)\right)\\ & =aCov(X,Y) \end{align*}

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共分散の基本的性質

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