共分散の基本的性質
\(X,Y\)を確率変数、\(a,b\)を定数とする。
(1)
\[ Cov(X,Y)=Cov(Y,X) \]
(2)
\[ Cov(X,Y+a)=Cov(X,Y) \]
(3)
\[ Cov(X,aY)=aCov(X,Y) \]
(1)
\begin{align*} Cov(X,Y) & =E\left(\left(X-E(X)\right)\left(Y-E(Y)\right)\right)\\ & =Cov(Y,X) \end{align*}
(2)
\begin{align*} Cov(X,Y+a) & =E(X(Y+a))-E(X)E(Y+a)\\ & =E(XY)+aE(X)-E(X)E(Y)+aE(X)\\ & =E(XY)-E(X)E(Y)\\ & =Cov(X,Y) \end{align*}
(3)
\begin{align*} Cov(X,aY) & =E(XaY)-E(X)E(aY)\\ & =a\left(E(XY)-E(X)E(Y)\right)\\ & =aCov(X,Y) \end{align*}
ページ情報
タイトル | 共分散の基本的性質 |
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共分散公式と分散公式
\[
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
\]
期待値の基本的性質
\[
E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)
\]
相関係数の基本的性質
\[
\rho(X,aY+b)=\rho(X,Y)
\]