共分散の基本的性質
\(X,Y\)を確率変数、\(a,b\)を定数とする。
(1)
\[ Cov(X,Y)=Cov(Y,X) \]
(2)
\[ Cov(X,Y+a)=Cov(X,Y) \]
(3)
\[ Cov(X,aY)=aCov(X,Y) \]
(1)
\begin{align*} Cov(X,Y) & =E\left(\left(X-E(X)\right)\left(Y-E(Y)\right)\right)\\ & =Cov(Y,X) \end{align*}
(2)
\begin{align*} Cov(X,Y+a) & =E(X(Y+a))-E(X)E(Y+a)\\ & =E(XY)+aE(X)-E(X)E(Y)+aE(X)\\ & =E(XY)-E(X)E(Y)\\ & =Cov(X,Y) \end{align*}
(3)
\begin{align*} Cov(X,aY) & =E(XaY)-E(X)E(aY)\\ & =a\left(E(XY)-E(X)E(Y)\right)\\ & =aCov(X,Y) \end{align*}
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タイトル | 共分散の基本的性質 |
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マルコフの不等式
\[
P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{E\left(\left|X\right|\right)}{\epsilon}
\]
独立と無相関の関係
\[
\text{独立}\Rightarrow\text{無相関}
\]
中心極限定理
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1)
\]