剰余演算同士の和・差
\[\mod\left(x,a,b\right)+\mod\left(y,a,b\right)=\mod\left(x+y,a,b\right)+a\mzp_{0,1}\left(b\sgn\left(a\right),b\sgn\left(a\right)+\left|a\right|;\sgn\left(a\right)\left(\mod\left(x,a,b\right)+\mod\left(y,a,b\right)\right)\right)\]
mzp関数の定義と負数の関係
\[\mzp_{a,b}\left(x_{1},x_{2};-x\right)=-\mzp_{-b,-a}\left(-x_{2},-x_{1};x\right)\]
偏角・対数の和と差
\[\Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\]
逆数・複素共役の偏角と対数
\[\Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\]
偏角の3角関数
\[\sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|}\]
オイラーの公式の応用
\[\cos z\pm i\sin z=e^{\pm iz}\]
ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の積
\[\sgn\left(x\right)H_{a}\left(x\right)=H_{0}\left(x\right)\]
ヘヴィサイドの階段関数の正数と負数の和と差
\[H_{a}\left(x\right)+H_{b}\left(-x\right)=1+\left(a+b-1\right)\delta_{0,x}\]
ヘヴィサイドの階段関数と符号関数・絶対値
\[H_{\frac{1}{2}}\left(\pm x\right)=\frac{1\pm\sgn x}{2}\]
ヘヴィサイドの階段関数の負数・和・差
\[H_{a}\left(-x\right)=-H_{a}\left(x\right)+1+\left(2a-1\right)\delta_{0,x}\]
ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の関係
\[H_{a}\left(x\right)=\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right)\delta_{0,x}\]
ヘヴィサイドの階段関数同士の変換
\[H_{a}\left(x\right)=H_{b}\left(x\right)+\left(a-b\right)\delta_{0,x}\]
ヘヴィサイドの階段関数と単位ステップ関数の関係
\[H_{1}\left(x\right)=U\left(x\right)\]
ヘヴィサイドの階段関数とクロネッカーのデルタの関係
\[H_{a}\left(n\right)-H_{b}\left(n-1\right)=a\delta_{0,n}+\left(1-b\right)\delta_{1,n}\]
ヘヴィサイドの階段関数と絶対値・符号関数
\[H_{a}\left(\left|c\right|x\right)=H_{a}\left(x\right)\]
ヘヴィサイドの階段関数の複素積分表示
\[H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\]
ヘヴィサイドの階段関数の極限表示
\[H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\tanh\left(kx\right)\right)\]
ヘヴィサイドの階段関数の微分・積分と微分・積分表示
\[\frac{dH\left(x\right)}{dx}=\delta\left(x\right)\]
ヘヴィサイドの階段関数と単位ステップ関数の定義
\[H_{a}\left(x\right)=\begin{cases}0 & \left(x<0\right)\\a & \left(x=0\right)\\1 & \left(0<x\right)\end{cases}\]
複素数と複素共役の和・差
\[z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z\]
1±itan(z)など
\[1\pm i\tan z=\frac{1}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\left(e^{\pm2i\Re z}+e^{\mp2\Im z}\right)\]
三角関数・双曲線関数の実部と虚部
\[\sin z=\sin\left(\Re z\right)\cosh\left(\Im z\right)+i\cos\left(\Re z\right)\sinh\left(\Im z\right)\]
0の0乗の極限
\[\lim_{x\rightarrow0}x^{\left|a\right|}=\delta_{0a}\]
逆三角関数と逆双曲線関数の関係
\[\Sin^{\bullet}\left(iz\right)=i\Sinh^{\bullet}z\]
逆三角関数と逆双曲線関数の負角
\[\Sin^{\bullet}\left(-z\right)=-\Sin^{\bullet}z\]
三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[\tan z=\frac{\sin\left(2\Re z\right)+i\sinh\left(2\Im z\right)}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\]
冪関数と指数関数の積の積分
\[\int z^{\alpha}e^{\beta z}dz=\frac{z^{\alpha}}{\beta\left(-\beta z\right)^{\alpha}}\Gamma\left(\alpha+1,-\beta z\right)+C\]
偏角の和と積の偏角
\[\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=?\Arg\left(\alpha\beta\right)\]
巾関数と逆三角関数・逆双曲線関数の積の積分
\[\int z^{\alpha}\Sin^{\bullet}zdz=\frac{1}{\alpha+1}\left(z^{\alpha+1}\Sin^{\bullet}z-\frac{z^{\alpha+2}}{\alpha+2}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha}{2}+1;\frac{\alpha}{2}+2;z^{2}\right)\right)+C\]
すべての自然数の積(解析接続あり)
\[\prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi}\]