偏角の3角関数
偏角の3角関数
(1)
\[ \sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|} \](2)
\[ \cos\Arg z=\frac{\Re z}{\left|z\right|} \](3)
\[ \tan\Arg z=\frac{\Im z}{\Re z} \](1)
\begin{align*} \sin\Arg z & =\frac{e^{i\Arg z}-e^{-i\Arg z}}{2i}\\ & =\frac{\sgn z-\sgn^{-1}z}{2i}\\ & =\frac{1}{2i}\left(\frac{z}{\left|z\right|}-\frac{\left|z\right|}{z}\right)\\ & =\frac{1}{2i}\left(\frac{z\left|z\right|-\overline{z}\left|z\right|}{\left|z\right|^{2}}\right)\\ & =\frac{\Im z}{\left|z\right|} \end{align*}(2)
\begin{align*} \cos\Arg z & =\frac{e^{i\Arg z}+e^{-i\Arg z}}{2}\\ & =\frac{\sgn z+\sgn^{-1}z}{2}\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{z}{\left|z\right|}+\frac{\left|z\right|}{z}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{z\left|z\right|+\overline{z}\left|z\right|}{\left|z\right|^{2}}\right)\\ & =\frac{\Re z}{\left|z\right|} \end{align*}(3)
\begin{align*} \tan\Arg z & =\frac{\sin\Arg z}{\cos\Arg z}\\ & =\frac{\Im z}{\Re z} \end{align*}ページ情報
タイトル | 偏角の3角関数 |
URL | https://www.nomuramath.com/eajvv751/ |
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三角関数と双曲線関数の積分
\[
\int\cos xdx=\sin x
\]
三角関数と双曲線関数の微分
\[
\frac{d}{dx}\tan x=\cos^{-2}x
\]
三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[
\sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}
\]
オイラーの公式の応用
\[
\cos z\pm i\sin z=e^{\pm iz}
\]