偏角の三角関数

by · 2021年6月1日

偏角の三角関数

(1)

\[ \sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|} \]

(2)

\[ \cos\Arg z=\frac{\Re z}{\left|z\right|} \]

(3)

\[ \tan\Arg z=\frac{\Im z}{\Re z} \]

(1)

\begin{align*} \sin\Arg z & =\frac{e^{i\Arg z}-e^{-i\Arg z}}{2i}\\ & =\frac{\sgn z-\sgn^{-1}z}{2i}\\ & =\frac{1}{2i}\left(\frac{z}{\left|z\right|}-\frac{\left|z\right|}{z}\right)\\ & =\frac{1}{2i}\left(\frac{z\left|z\right|-\overline{z}\left|z\right|}{\left|z\right|^{2}}\right)\\ & =\frac{\Im z}{\left|z\right|} \end{align*}

(2)

\begin{align*} \cos\Arg z & =\frac{e^{i\Arg z}+e^{-i\Arg z}}{2}\\ & =\frac{\sgn z+\sgn^{-1}z}{2}\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{z}{\left|z\right|}+\frac{\left|z\right|}{z}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{z\left|z\right|+\overline{z}\left|z\right|}{\left|z\right|^{2}}\right)\\ & =\frac{\Re z}{\left|z\right|} \end{align*}

(3)

\begin{align*} \tan\Arg z & =\frac{\sin\Arg z}{\cos\Arg z}\\ & =\frac{\Im z}{\Re z} \end{align*}

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タイトル

偏角の三角関数

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https://www.nomuramath.com/eajvv751/

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\[ \left(\sin x\right)'=\cos x \]
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三角関数と双曲線関数のn乗積分
\[ \int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\} \]