ヘヴィサイドの階段関数とクロネッカーのデルタの関係

ヘヴィサイドの階段関数とクロネッカーのデルタの関係

\(n\in\mathbb{Z}\)とする。

(1)

\[ H_{1}\left(n\right)-H_{1}\left(n-1\right)=\delta_{0,n} \]

(2)

\[ H_{a}\left(n\right)-H_{b}\left(n-1\right)=a\delta_{0,n}+\left(1-b\right)\delta_{1,n} \]

(3)

\[ H_{1}\left(n\right)=\sum_{k=-\infty}^{n}\delta_{0,k} \]

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\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数、\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ。

(1)

\begin{align*} H_{1}\left(n\right)-H_{1}\left(n-1\right) & =\begin{cases} 0 & n\ne0\\ 1 & n=0 \end{cases}\\ & =\delta_{0,n} \end{align*}

(2)

\begin{align*} H_{a}\left(n\right)-H_{b}\left(n-1\right) & =H_{1}\left(n\right)+\left(a-1\right)\delta_{0,n}-\left(H_{1}\left(n-1\right)+\left(b-1\right)\delta_{0,n-1}\right)\\ & =\delta_{0,n}+\left(a-1\right)\delta_{0,n}-\left(b-1\right)\delta_{1,n}\\ & =a\delta_{0,n}+\left(1-b\right)\delta_{1,n} \end{align*}

(3)

\begin{align*} H_{1}\left(n\right) & =\sum_{k=-\infty}^{n}\left\{ H_{1}\left(k\right)-H_{1}\left(k-1\right)\right\} \\ & =\sum_{k=-\infty}^{n}\delta_{0,k} \end{align*}

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ヘヴィサイドの階段関数とクロネッカーのデルタの関係

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