ヘヴィサイドの階段関数とクロネッカーのデルタの関係
ヘヴィサイドの階段関数とクロネッカーのデルタの関係
\(n\in\mathbb{Z}\)とする。
\(n\in\mathbb{Z}\)とする。
(1)
\[ H_{1}\left(n\right)-H_{1}\left(n-1\right)=\delta_{0,n} \](2)
\[ H_{a}\left(n\right)-H_{b}\left(n-1\right)=a\delta_{0,n}+\left(1-b\right)\delta_{1,n} \](3)
\[ H_{1}\left(n\right)=\sum_{k=-\infty}^{n}\delta_{0,k} \]-
\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数、\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ。(1)
\begin{align*} H_{1}\left(n\right)-H_{1}\left(n-1\right) & =\begin{cases} 0 & n\ne0\\ 1 & n=0 \end{cases}\\ & =\delta_{0,n} \end{align*}(2)
\begin{align*} H_{a}\left(n\right)-H_{b}\left(n-1\right) & =H_{1}\left(n\right)+\left(a-1\right)\delta_{0,n}-\left(H_{1}\left(n-1\right)+\left(b-1\right)\delta_{0,n-1}\right)\\ & =\delta_{0,n}+\left(a-1\right)\delta_{0,n}-\left(b-1\right)\delta_{1,n}\\ & =a\delta_{0,n}+\left(1-b\right)\delta_{1,n} \end{align*}(3)
\begin{align*} H_{1}\left(n\right) & =\sum_{k=-\infty}^{n}\left\{ H_{1}\left(k\right)-H_{1}\left(k-1\right)\right\} \\ & =\sum_{k=-\infty}^{n}\delta_{0,k} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ヘヴィサイドの階段関数とクロネッカーのデルタの関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/mxyp59g7/ |
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ヘヴィサイドの階段関数の負数・和・差
\[
H_{a}\left(-x\right)=-H_{a}\left(x\right)+1+\left(2a-1\right)\delta_{0,x}
\]
ヘヴィサイドの階段関数と絶対値・符号関数
\[
H_{a}\left(\left|c\right|x\right)=H_{a}\left(x\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値を引数に持つ関数の和と差
\[
f\left(H\left(\pm_{1}1\right)\right)\pm_{2}f\left(-H\left(\mp_{1}1\right)\right)=\left(f\left(0\right)+f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\pm_{2}1\right)\mp_{1}\left(f\left(0\right)-f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\mp_{2}1\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数と符号関数・絶対値
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(\pm x\right)=\frac{1\pm\sgn x}{2}
\]