逆数の偏角と対数
逆数の偏角と対数
(1)
\[ \Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \](2)
\[ \Log z^{-1}=-\Log z+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \]-
\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ(1)
\begin{align*} \Arg z^{-1} & =\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)^{-1}\\ & =\Arg e^{-i\Arg z}\\ & =\mod\left(-\Arg z,-2\pi,\pi\right)\\ & =-\mod\left(\Arg z+2\pi,-2\pi,\pi\right)-2\pi\left|\sgn\left\{ \mod\left(\Arg z+2\pi,-2\pi,\pi\right)-\pi\right\} \right|+2\pi\\ & =-\Arg z-2\pi\left|\sgn\left(\Arg z-\pi\right)\right|+2\pi\\ & =-\Arg z+2\pi\left(1-\left|\sgn\left(\Arg z-\pi\right)\right|\right)\\ & =-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z} \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \Arg z^{-1} & =\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)^{-1}\\ & =\Arg e^{-i\Arg z}\\ & =-\Arg e^{i\Arg z}+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \end{align*}(2)
\begin{align*} \Log z^{-1} & =\ln\left|z^{-1}\right|+i\Arg\left(z^{-1}\right)\\ & =-\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z^{-1}\right)\\ & =-\ln\left|z\right|+i\left(-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\right)\\ & =-\left(\ln\left|z\right|+i\Arg z\right)+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Log z+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \end{align*}ページ情報
タイトル | 逆数の偏角と対数 |
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対数と偏角の性質
\[
\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1
\]
偏角・対数と符号関数の関係
\[
\Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)
\]
複素数と複素共役の和・差
\[
z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z
\]
符号関数の偏角・対数
\[
\Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha
\]