0の0乗の極限

0の0乗の極限

\(x\in\mathbb{R}\)とする。

(1)

\[ \lim_{x\rightarrow0}x^{\left|a\right|}=\delta_{0a} \]

(2)

\[ \lim_{x\rightarrow+0}a^{x}=\left|\sgn a\right| \]

(3)

\[ \lim_{x\rightarrow0}x^{x}=1 \]

-

\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ

(1)

\(a=0\)のとき、\(x\)は\(0\)でないので、\(\lim_{x\rightarrow0}x^{0}=1\)

\(a\ne0\)のとき、\(x\)が\(0\)に近づくと、\(x^{\left|a\right|}\)はいくらでも小さくなるので\(\lim_{x\rightarrow0}x^{\left|a\right|}=0\)

故に題意は成り立つ。

(2)

\(a=0\)のとき、\(0\)を正の数乗すると、\(0\)になるので\(\lim_{x\rightarrow+0}0^{x}=0\)

\(a\ne0\)のとき、\(x\)は限りなく\(+0\)に近づくので\(\lim_{x\rightarrow+0}a^{x}=1\)

故に題意は成り立つ。

(3)

\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}x^{x} & =\lim_{x\rightarrow0}\exp\left(x\Log x\right)\\ & =\exp\left(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Log x}{x^{-1}}\right)\\ & =\exp\left(\lim_{x\rightarrow0}-\frac{x^{-1}}{x^{-2}}\right)\\ & =\exp\left(\lim_{x\rightarrow0}-x\right)\\ & =e^{0}\\ & =1 \end{align*}

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0の0乗の極限

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https://www.nomuramath.com/q8au7jed/

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