0の0乗の極限
0の0乗の極限
\(x\in\mathbb{R}\)とする。
\(x\in\mathbb{R}\)とする。
(1)
\[ \lim_{x\rightarrow0}x^{\left|a\right|}=\delta_{0a} \](2)
\[ \lim_{x\rightarrow+0}a^{x}=\left|\sgn a\right| \](3)
\[ \lim_{x\rightarrow0}x^{x}=1 \]-
\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ(1)
\(a=0\)のとき、\(x\)は\(0\)でないので、\(\lim_{x\rightarrow0}x^{0}=1\)\(a\ne0\)のとき、\(x\)が\(0\)に近づくと、\(x^{\left|a\right|}\)はいくらでも小さくなるので\(\lim_{x\rightarrow0}x^{\left|a\right|}=0\)
故に題意は成り立つ。
(2)
\(a=0\)のとき、\(0\)を正の数乗すると、\(0\)になるので\(\lim_{x\rightarrow+0}0^{x}=0\)\(a\ne0\)のとき、\(x\)は限りなく\(+0\)に近づくので\(\lim_{x\rightarrow+0}a^{x}=1\)
故に題意は成り立つ。
(3)
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}x^{x} & =\lim_{x\rightarrow0}\exp\left(x\Log x\right)\\ & =\exp\left(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Log x}{x^{-1}}\right)\\ & =\exp\left(\lim_{x\rightarrow0}-\frac{x^{-1}}{x^{-2}}\right)\\ & =\exp\left(\lim_{x\rightarrow0}-x\right)\\ & =e^{0}\\ & =1 \end{align*}ページ情報
タイトル | 0の0乗の極限 |
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ネイピア数と極限
\[
\lim_{h\rightarrow0}\left(1-h\right)^{\frac{1}{h}}=\frac{1}{e}
\]
対数となる極限
\[
\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{z^{\alpha+1}}{\alpha+1}=\Log\left(z\right)+\lim_{\alpha\rightarrow-1}\frac{1}{\alpha+1}
\]