(1)

\(\phi\left(x\right)\)をテスト関数とする。
\begin{align*} \left\langle \frac{dH\left(x\right)}{dx},\phi\left(x\right)\right\rangle & =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dH\left(x\right)}{dx}\phi\left(x\right)dx\\ & =\left[\int_{-\infty}^{\infty}H\left(x\right)\phi\left(x\right)\right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}H\left(x\right)\frac{d\phi\left(x\right)}{dx}dx\\ & =-\int_{0}^{\infty}\frac{d\phi\left(x\right)}{dx}dx\\ & =\phi\left(0\right)\\ & =\left\langle \delta\left(x\right),\phi\left(x\right)\right\rangle \end{align*} これより、
\[ \frac{dH\left(x\right)}{dx}=\delta\left(x\right) \]

(2)

\begin{align*} \int_{-\infty}^{x}H\left(x\right)dx & =\left[xH\left(x\right)\right]_{-\infty}^{x}-\int_{-\infty}^{x}x\frac{dH\left(x\right)}{dx}dx\\ & =xH\left(x\right)-\int_{-\infty}^{x}x\delta\left(x\right)dx\\ & =xH\left(x\right)\\ & =\begin{cases} 0 & x\leq0\\ x & 0<x \end{cases}\\ & =\max\left(0,x\right) \end{align*}

(3)

\(x\ne0\)とする。
\begin{align*} H\left(x\right) & =\int_{-\infty}^{x}\frac{dH\left(x\right)}{dx}dx-\lim_{x\rightarrow-\infty}H\left(x\right)\\ & =\int_{-\infty}^{x}\delta\left(x\right)dx \end{align*}

(4)

\(x\ne0\)とする。
\begin{align*} H\left(x\right) & =\frac{d}{dx}\int^{x}H\left(x\right)dx\\ & =\frac{d}{dx}\max\left(0,x\right) \end{align*}