ヘヴィサイドの階段関数同士の変換

ヘヴィサイドの階段関数同士の変換

(1)

\[ H_{a}\left(x\right)=H_{b}\left(x\right)+\left(a-b\right)\delta_{0,x} \]

(2)

\[ \delta_{0,x}=\frac{H_{a}\left(x\right)-H_{b}\left(x\right)}{a-b} \]

(3)

\[ H_{a}\left(x\right)=H_{b}\left(x\right)+\frac{a-b}{c-d}\left(H_{c}\left(x\right)-H_{d}\left(x\right)\right) \]

(4)

\[ H_{a}\left(x\right)=aH_{1}\left(x\right)+\left(1-a\right)H_{0}\left(x\right) \]

-

\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数、\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ。

(1)

\begin{align*} H_{a}\left(x\right)-H_{b}\left(x\right) & =\begin{cases} a-b & x=0\\ 0 & x\ne0 \end{cases}\\ & =\left(a-b\right)\delta_{0,x} \end{align*}

より、

\[ H_{a}\left(x\right)=H_{b}\left(x\right)+\left(a-b\right)\delta_{0,x} \]

(2)

(1)より\(\delta\)について解くと導出できる。

(3)

\begin{align*} H_{a}\left(x\right) & =H_{b}\left(x\right)+\left(a-b\right)\delta_{0,x}\\ & =H_{b}\left(x\right)+\frac{a-b}{c-d}\left(H_{c}\left(x\right)-H_{d}\left(x\right)\right) \end{align*}

(4)

\begin{align*} H_{a}\left(x\right) & =H_{0}\left(x\right)+a\delta_{0,x}\\ & =H_{0}\left(x\right)+a\left(H_{1}\left(x\right)-H_{0}\left(x\right)\right)\\ & =aH_{1}\left(x\right)+\left(1-a\right)H_{0}\left(x\right) \end{align*}

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ヘヴィサイドの階段関数同士の変換

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