すべての自然数の積(解析接続あり)
すべての自然数の積(解析接続あり)
\[ \prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi} \]
\[ \prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi} \]
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{\infty}k & =\prod_{k=1}^{\infty}e^{\Log k}\\
& =\exp\left(\sum_{k=1}^{\infty}\Log k\right)\\
& =\exp\left(-\left[\sum_{k=1}^{\infty}-k^{-s}\Log k\right]_{s=0}\right)\\
& =\exp\left(-\left[\frac{d}{ds}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\right]_{s=0}\right)\\
& =\exp\left(-\left[\frac{d}{ds}\zeta\left(s\right)\right]_{s=0}\right)\\
& =\exp\left(-\zeta'\left(0\right)\right)\\
& =\exp\left(\Log\sqrt{2\pi}\right)\\
& =\sqrt{2\pi}
\end{align*}
ページ情報
タイトル | すべての自然数の積(解析接続あり) |
URL | https://www.nomuramath.com/gz540qzl/ |
SNSボタン |
リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係
\[
\zeta(s)=\pi^{s-1}2^{s}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(1-s\right)\zeta(1-s)
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開
\[
\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right)
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz
\]
リーマン・ゼータ関数のローラン展開
\[
\zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}-s\int_{1}^{n}\frac{t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}}{t^{s+1}}dt
\]