すべての自然数の積(解析接続あり)
すべての自然数の積(解析接続あり)
\[ \prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi} \]
\begin{align*} \prod_{k=1}^{\infty}k & =\prod_{k=1}^{\infty}e^{\Log k}\\ & =\exp\left(\sum_{k=1}^{\infty}\Log k\right)\\ & =\exp\left(-\left[\sum_{k=1}^{\infty}-k^{-s}\Log k\right]_{s=0}\right)\\ & =\exp\left(-\left[\frac{d}{ds}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\right]_{s=0}\right)\\ & =\exp\left(-\left[\frac{d}{ds}\zeta\left(s\right)\right]_{s=0}\right)\\ & =\exp\left(-\zeta'\left(0\right)\right)\\ & =\exp\left(\Log\sqrt{2\pi}\right)\\ & =\sqrt{2\pi} \end{align*}
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タイトル | すべての自然数の積(解析接続あり) |
URL | https://www.nomuramath.com/gz540qzl/ |
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リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz
\]
偶数ゼータ・奇数ゼータ・ゼータの総和
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\left(\zeta\left(k\right)-1\right)=1
\]
リーマン・ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の定義
\[
\zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]
ζ(4k)の総和
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta(4k)-1\right)=\frac{7}{8}-\frac{\pi}{4}\tanh^{-1}\pi
\]