すべての自然数の積(解析接続あり)
すべての自然数の積(解析接続あり)
\[ \prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi} \]
\begin{align*} \prod_{k=1}^{\infty}k & =\prod_{k=1}^{\infty}e^{\Log k}\\ & =\exp\left(\sum_{k=1}^{\infty}\Log k\right)\\ & =\exp\left(-\left[\sum_{k=1}^{\infty}-k^{-s}\Log k\right]_{s=0}\right)\\ & =\exp\left(-\left[\frac{d}{ds}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\right]_{s=0}\right)\\ & =\exp\left(-\left[\frac{d}{ds}\zeta\left(s\right)\right]_{s=0}\right)\\ & =\exp\left(-\zeta'\left(0\right)\right)\\ & =\exp\left(\Log\sqrt{2\pi}\right)\\ & =\sqrt{2\pi} \end{align*}
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タイトル | すべての自然数の積(解析接続あり) |
URL | https://www.nomuramath.com/gz540qzl/ |
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ゼータ関数とイータ関数の関係
\[
\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)
\]
偶数ゼータ・奇数ゼータ・ゼータの総和
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\left(\zeta\left(k\right)-1\right)=1
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
\[
\zeta\left(-n,\alpha\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right)
\]
リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係
\[
\zeta(s)=\pi^{s-1}2^{s}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(1-s\right)\zeta(1-s)
\]