偏角・対数の和と差

by · 2021年6月7日

偏角・対数の和と差

(1)

\[ \Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \]

(2)

\[ \Arg\alpha-\Arg\beta=\Arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)} \]

(3)

\[ \Log\alpha+\Log\beta=\Log\left(\alpha\beta\right)+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \]

(4)

\[ \Log\alpha-\Log\beta=\Log\frac{\alpha}{\beta}+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)} \]

-

\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数
\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ
\(\mzp_{a,b}\left(x_{1},x_{2};x\right)\)はmzp関数

(1)

\begin{align*} \Arg\alpha+\Arg\beta & =\mod\left(\Arg\alpha,-2\pi,\pi\right)+\mod\left(\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)\\ & =\mod\left(\Arg\alpha+\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)-2\pi\mzp_{0,1}\left(\pi\sgn\left(-2\pi\right),\pi\sgn\left(-2\pi\right)+\left|-2\pi\right|;\sgn\left(-2\pi\right)\left(\mod\left(\Arg\alpha,-2\pi,\pi\right)+\mod\left(\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)\right)\right)\\ & =\mod\left(\Arg\left(\alpha\beta\right),-2\pi,\pi\right)-2\pi\mzp_{0,1}\left(-\pi,\pi;-\left(\mod\left(\Arg\alpha,-2\pi,\pi\right)+\mod\left(\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)\right)\right)\\ & =\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \Arg\alpha-\Arg\beta & =\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\\ & =\Arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)} \end{align*}

(3)

\begin{align*} \Log\alpha+\Log\beta & =\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\alpha+\ln\left|\beta\right|+i\Arg\beta\\ & =\ln\left|\alpha\beta\right|+i\left(\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\\ & =\ln\left|\alpha\beta\right|+i\left(\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\right)\\ & =\Log\left(\alpha\beta\right)+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \end{align*}

(4)

\begin{align*} \Log\alpha-\Log\beta & =\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\alpha-\left(\ln\left|\beta\right|+i\Arg\beta\right)\\ & =\ln\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|+i\left(\Arg\alpha-\Arg\beta\right)\\ & =\ln\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|+i\left(\Arg\left(\alpha\beta^{-1}\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\right)\\ & =\Log\frac{\alpha}{\beta}+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)} \end{align*}
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偏角・対数の和と差
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複素数と複素共役の和・差
\[ z\pm\overline{z}=2H\left(\pm1\right)\Re z+2iH\left(\mp1\right)\Im z \]
負数の偏角と対数
\[ \Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi \]
絶対値の冪乗
\[ \left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma} \]
冪乗の対数
\[ \Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right) \]